ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 402 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) \(\lg^2 x — \lg x \geq 0\);
\(\lg x \cdot (\lg x — 1) \geq 0\);
\(\lg x \leq 0, \lg x \geq 1\);
\(x > 0, x \leq 1, x \geq 10\);
Ответ: \((0; 1] \cup [10; +\infty)\).

2) \(\ln^2 x + \ln x \leq 0\);
\(\ln x \cdot (\ln x + 1) \leq 0\);
\(-1 \leq \ln x \leq 0\);
\(\frac{1}{e} \leq x \leq 1\);
Ответ: \(\left[\frac{1}{e}; 1\right]\).

3) \(3 \log_8^2 x + 2 \log_8 x — 5 \geq 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64 = 8^2\), тогда:
\(\log_8 x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-5}{3}\) и \(\log_8 x_2 = \frac{8 — 2}{2 \cdot 3} = 1\);
\((\log_8 x + \frac{5}{3})(\log_8 x — 1) \geq 0\);
\(\log_8 x \leq -\frac{5}{3}, \log_8 x \geq 1\);
\(0 < x \leq \frac{1}{32}, x \geq 8\);
Ответ: \((0; \frac{1}{32}] \cup [8; +\infty)\).

4) \(\log_{1/3}^2(-x) — \log_{1/3}(-x) \leq 2\);
\(\log_{1/3}^2(-x) — \log_{1/3}(-x) — 2 \leq 0\);
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 = 3^2\), тогда:
\(\log_{1/3}(-x_1) = \frac{-1 — 3}{2} = -2\) и \(\log_{1/3}(-x_2) = 2\);
\((\log_{1/3}(-x) + 1)(\log_{1/3}(-x) — 2) \leq 0\);
\(-1 \leq \log_{1/3}(-x) \leq 2\);
\(\frac{1}{9} \leq -x \leq 3\);
\(-3 \leq x \leq -\frac{1}{9}\);
Ответ: \([-3; -\frac{1}{9}]\).

5) \(\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3}{\lg x — 1} > 1\);
\(\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3 — \lg x + 1}{\lg x — 1} > 0\);
\(\frac{\lg^2 x — 4 \lg x + 4}{\lg x — 1} > 0\);
\(\frac{(\lg x — 2)^2}{\lg x — 1} > 0\);
\(\lg x > 1, \lg x \neq 2\);
\(x > 10, x = 10^2 = 100\);
Ответ: \((10; 100) \cup (100; +\infty)\).

6)
\(\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 1\);
\(\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6 — \log_6 x}{\log_6 x} < 0\);
\(\frac{\log_6^2 x + \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 0\);

\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 = 5^2\), тогда:
\(\log_6 x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3\) и \(\log_6 x_2 = \frac{5 — 1}{2} = 2\);
\(\frac{(\log_6 x + 3)(\log_6 x — 2)}{\log_6 x} < 0\);

\(\log_6 x < -3, 0 < \log_6 x < 2\);
\(0 < x < \frac{1}{216}, 1 < x < 36\);

Ответ: \((0; \frac{1}{216}) \cup (1; 36)\).

1)
\(\lg^2 x — \lg x \geq 0\)
\(\lg x \cdot (\lg x — 1) \geq 0\)
Рассмотрим произведение:
\(\lg x \geq 0\) или \(\lg x — 1 \geq 0\), то есть \(\lg x \geq 1\).
Или \(\lg x \leq 0\), то есть \(x > 0\) и \(x \leq 1\).
Таким образом, \(x > 0, x \leq 1, x \geq 10\).
Ответ: \((0; 1] \cup [10; +\infty)\).

2)
\(\ln^2 x + \ln x \leq 0\)
\(\ln x \cdot (\ln x + 1) \leq 0\)
Рассмотрим произведение:
\(\ln x \geq -1\) и \(\ln x \leq 0\), то есть \(-1 \leq \ln x \leq 0\).
Переход к интервалу для \(x\):
\(\frac{1}{e} \leq x \leq 1\).
Ответ: \(\left[\frac{1}{e}; 1\right]\).

3)
\(3 \log_8^2 x + 2 \log_8 x — 5 \geq 0\)
Найдем дискриминант:
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 + 60 = 64 = 8^2\).
Корни квадратного уравнения:
\(\log_8 x_1 = \frac{-2 — 8}{2 \cdot 3} = \frac{-5}{3}\),
\(\log_8 x_2 = \frac{8 — 2}{2 \cdot 3} = 1\).
Запишем произведение:
\((\log_8 x + \frac{5}{3})(\log_8 x — 1) \geq 0\).
Рассмотрим интервалы:
\(\log_8 x \leq -\frac{5}{3}\), \(\log_8 x \geq 1\).
Переход к интервалу для \(x\):
\(0 < x \leq \frac{1}{32}, x \geq 8\).
Ответ: \((0; \frac{1}{32}] \cup [8; +\infty)\).

4)
\(\log_{1/3}^2(-x) — \log_{1/3}(-x) \leq 2\)
Приведем уравнение к стандартному виду:
\(\log_{1/3}^2(-x) — \log_{1/3}(-x) — 2 \leq 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 = 3^2\).
Корни квадратного уравнения:
\(\log_{1/3}(-x_1) = \frac{-1 — 3}{2} = -2\),
\(\log_{1/3}(-x_2) = \frac{-1 + 3}{2} = 2\).
Запишем произведение:
\((\log_{1/3}(-x) + 1)(\log_{1/3}(-x) — 2) \leq 0\).
Рассмотрим интервалы:
\(-1 \leq \log_{1/3}(-x) \leq 2\).
Переход к интервалу для \(x\):
\(\frac{1}{9} \leq -x \leq 3\), то есть \(-3 \leq x \leq -\frac{1}{9}\).
Ответ: \([-3; -\frac{1}{9}]\).

5)
\(\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3}{\lg x — 1} > 1\)
Приведем уравнение к стандартному виду:
\(\frac{\lg^2 x — 3 \lg x + 3 — \lg x + 1}{\lg x — 1} > 0\),
\(\frac{\lg^2 x — 4 \lg x + 4}{\lg x — 1} > 0\),
\(\frac{(\lg x — 2)^2}{\lg x — 1} > 0\).
Рассмотрим интервалы:
\(\lg x > 1\), \(\lg x \neq 2\).
Переход к интервалу для \(x\):
\(x > 10, x \neq 100\).
Ответ: \((10; 100) \cup (100; +\infty)\).

6)
\(\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 1\),
\(\frac{\log_6^2 x + 2 \log_6 x — 6 — \log_6 x}{\log_6 x} < 0\),
\(\frac{\log_6^2 x + \log_6 x — 6}{\log_6 x} < 0\).
Найдем дискриминант:
\(D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 + 24 = 25 = 5^2\).
Корни квадратного уравнения:
\(\log_6 x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3\),
\(\log_6 x_2 = \frac{5 — 1}{2} = 2\).
Запишем произведение:
\(\frac{(\log_6 x + 3)(\log_6 x — 2)}{\log_6 x} < 0\).
Рассмотрим интервалы:
\(\log_6 x < -3\), \(0 < \log_6 x < 2\).
Переход к интервалу для \(x\):
\(0 < x < \frac{1}{216}\), \(1 < x < 36\).
Ответ: \((0; \frac{1}{216}) \cup (1; 36)\).