ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 403 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1)
\(
x^{\log_5(x-2)} = 125
\)
\(
\log_5 x^{\log_5(x-2)} = \log_5 125
\)
\(
\log_5 x \cdot (\log_5 x — 2) = 3
\)
\(
\log_5^2 x — 2 \log_5 x — 3 = 0
\)
\(
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2
\)
Тогда:
\(
\log_5 x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad \log_5 x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)
\(
x_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}, \quad x_2 = 5^3 = 125
\)
Ответ:
\(
\frac{1}{5}; \, 125
\)

2)
\(
x^{\lg x} = 100x
\)
\(
x^{\lg x — 1} = 100
\)
\(
\lg x \cdot (\lg x — 1) = \lg 100
\)
\(
\lg x \cdot (\lg x — 1) = 2
\)
\(
\lg^2 x — \lg x — 2 = 0
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9
\)
Тогда:
\(
\lg x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad \lg x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)
\(
x_1 = 10^{-1} = 0.1, \quad x_2 = 10^2 = 100
\)
Ответ:
\(
0.1; \, 100
\)

3)
\(
x^2 \log_7 x = 7x;
\)
\(
x^2 \log_7 x — 1 = 7;
\)
\(
\log_7 x^2 \log_7 x — 1 = \log_7 7;
\)
\(
\log_7 x \cdot (2 \log_7 x — 1) = 1;
\)
\(
2 \log_7^2 x — \log_7 x — 1 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = 3^2,
\)
тогда:
\(
\log_7 x_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}, \quad \log_7 x_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;
\)
\(
x_1 = 7^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{7}}, \quad x_2 = 7^1 = 7;
\)
Ответ:
\(
\frac{1}{\sqrt{7}}; \, 7.
\)

4)
\(
x^{\log_6 x} = \frac{36}{x};
\)
\(
x^{\log_6 x + 1} = 36;
\)
\(
\log_6 x^{\log_6 x + 1} = \log_6 36;
\)
\(
\log_6 x \cdot (\log_6 x + 1) = 2;
\)
\(
\log_6^2 x + \log_6 x — 2 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 = 3^2,
\)
тогда:
\(
\log_6 x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad \log_6 x_2 = \frac{3 — 1}{2} = 1;
\)
\(
x_1 = 6^{-2} = \frac{1}{36}, \quad x_2 = 6^1 = 6;
\)
Ответ:
\(
\frac{1}{36}; \, 6.
\)

1)
Рассмотрим уравнение:
\(
x^{\log_5(x-2)} = 125
\)

Применим логарифм по основанию \(5\):
\(
\log_5 x^{\log_5(x-2)} = \log_5 125
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\log_5 x \cdot \log_5(x-2) = \log_5 125
\)

Поскольку \(\log_5 125 = 3\), получаем:
\(
\log_5 x \cdot (\log_5 x — 2) = 3
\)

Раскрываем скобки:
\(
\log_5^2 x — 2 \log_5 x — 3 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16
\)

Корни:
\(
\log_5 x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1
\)
\(
\log_5 x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3
\)

Находим значения \(x\):
\(
x_1 = 5^{-1} = \frac{1}{5}, \quad x_2 = 5^3 = 125
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{5}; \, 125
\)

2)
Рассмотрим уравнение:
\(
x^{\lg x} = 100x
\)

Разделим обе стороны на \(x\):
\(
x^{\lg x — 1} = 100
\)

Применим десятичный логарифм:
\(
\lg x^{\lg x — 1} = \lg 100
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\lg x \cdot (\lg x — 1) = \lg 100
\)

Поскольку \(\lg 100 = 2\), получаем:
\(
\lg x \cdot (\lg x — 1) = 2
\)

Раскрываем скобки:
\(
\lg^2 x — \lg x — 2 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Корни:
\(
\lg x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -2
\)
\(
\lg x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = 1
\)

Находим значения \(x\):
\(
x_1 = 10^{-2} = 0.1, \quad x_2 = 10^1 = 100
\)

Ответ:
\(
0.1; \, 100
\)

3)
Рассмотрим уравнение:
\(
x^2 \log_7 x = 7x
\)

Перенесем \(7x\) в левую часть:
\(
x^2 \log_7 x — 7x = 0
\)

Разделим обе части на \(x\) (при \(x \neq 0\)):
\(
x \log_7 x — 7 = 0
\)

Применим логарифм по основанию \(7\):
\(
\log_7 x^2 \log_7 x — 1 = \log_7 7
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\log_7 x \cdot (2 \log_7 x — 1) = 1
\)

Раскрываем скобки:
\(
2 \log_7^2 x — \log_7 x — 1 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9
\)

Корни:
\(
\log_7 x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 — 3}{4} = -\frac{1}{2}
\)
\(
\log_7 x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1
\)

Находим значения \(x\):
\(
x_1 = 7^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{7}}, \quad x_2 = 7^1 = 7
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{\sqrt{7}}; \, 7
\)

4)
Рассмотрим уравнение:
\(
x^{\log_6 x} = \frac{36}{x}
\)

Умножим обе стороны на \(x\):
\(
x^{\log_6 x + 1} = 36
\)

Применим логарифм по основанию \(6\):
\(
\log_6 x^{\log_6 x + 1} = \log_6 36
\)

Используем свойства логарифмов:
\(
\log_6 x \cdot (\log_6 x + 1) = \log_6 36
\)

Поскольку \(\log_6 36 = 2\), получаем:
\(
\log_6 x \cdot (\log_6 x + 1) = 2
\)

Раскрываем скобки:
\(
\log_6^2 x + \log_6 x — 2 = 0
\)

Решаем квадратное уравнение:
\(
D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
\)

Корни:
\(
\log_6 x_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 — 3}{2} = -2
\)
\(
\log_6 x_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1
\)

Находим значения \(x\):
\(
x_1 = 6^{-2} = \frac{1}{36}, \quad x_2 = 6^1 = 6
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{36}; \, 6
\)