Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 404 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найти производную функции:
1) \( y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} — 1 \)
2) \( y = (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1) \)
3) \( y = \frac{3x — 1}{x^2 + 1} \)
4) \( y = (3 — 2x)\sqrt{x} \)
5) \( y = \sqrt{x}\sin(x) \)
6) \( y = 2^x \cos(x) \)
7) \( y = \tan\left(\frac{x}{6}\right) \)
8) \( y = (2x — 1)^6 \)
9) \( y = \log_3(2x^2 — 3x + 1) \)
10) \( y = 14^{2 — 5x} \)
11) \( y = x^3 + \ln(6x — 1) \)
12) \( y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x} \)
1) \( y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} — 1 \)
\(
y'(x) = 6x^5 + 2 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 2x^{-3}
\)
\(
y'(x) = 6x^5 + 8x^3 — \frac{8}{x^3}
\)
2) \( y = (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1) \)
\(
y'(x) = (2x + 1)(x^2 — 4x + 1) + (x^2 + x + 1)(2x — 4)
\)
\(
y'(x) = 2x^3 — 7x^2 — 2x + 1 + 2x^3 — 2x^2 — 2x — 4
\)
\(
y'(x) = 4x^3 — 9x^2 — 4x — 3
\)
3) \( y = \frac{3x — 1}{x^2 + 1} \)
\(
y'(x) = \frac{3(x^2 + 1) — (3x — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y'(x) = \frac{3x^2 + 3 — 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
\(
y'(x) = \frac{2x — 3x^2 + 3}{(x^2 + 1)^2}
\)
4) \( y = (3 — 2x)\sqrt{x} \)
\(
y'(x) = (3 — 2x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot (-2)
\)
\(
y'(x) = \frac{4x + 3 — 2x}{2\sqrt{x}} — \frac{2\sqrt{x}}{1}
\)
\(
y'(x) = \frac{3 — 6x}{2\sqrt{x}}
\)
5) \( y = \sqrt{x} \sin x \);
\(
y'(x) = \frac{\sin x}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot \cos x;
\)
\(
y'(x) = \frac{\sin x + 2x \cos x}{2\sqrt{x}};
\)
6) \( y = 2^x \cos x \);
\(
y'(x) = 2^x \ln 2 \cos x + 2^x (-\sin x);
\)
\(
y'(x) = 2^x (\ln 2 \cos x — \sin x);
\)
7) \( y = \tan \frac{x}{6} \);
\(
y'(x) = \left( \frac{x}{6} \right)’ \cdot \left( \tan \frac{x}{6} \right)’;
\)
\(
y'(x) = \frac{1}{6 \cos^2 \frac{x}{6}};
\)
8) \( y = (2x — 1)^6 \);
\(
y'(x) = 6(2x — 1)^5 \cdot 2;
\)
\(
y'(x) = 12(2x — 1)^5.
\)
9) \( y = \log_3(2x^2 — 3x + 1); \)
\(
y'(x) = \frac{2 \cdot 2x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3};
\)
\(
y'(x) = \frac{4x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3};
\)
10) \( y = 14^{2 — 5x}; \)
\(
y'(x) = (2 — 5x)’ \cdot (14^{2 — 5x})’;
\)
\(
y'(x) = -5 \cdot 14^{2 — 5x} \cdot \ln 14;
\)
11) \( y = x^3 + \ln(6x — 1); \)
\(
y'(x) = 3x^2 + \frac{6}{6x — 1};
\)
12) \( y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x^2}; \)
\(
y'(x) = -\frac{3x^4}{2x^6} — \frac{4}{x^3};
\)
\(
y'(x) = -\frac{3}{2x^4} — \frac{4}{x^3}.
\)
1) \( y = x^6 + 2x^4 + \frac{4}{x^2} — 1 \)
Найдем производную каждого слагаемого:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^6) + \frac{d}{dx}(2x^4) + \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x^2}\right) + \frac{d}{dx}(-1)
\)
\(
y'(x) = 6x^5 + 2 \cdot 4x^3 — 4 \cdot 2x^{-3}
\)
\(
y'(x) = 6x^5 + 8x^3 — \frac{8}{x^3}
\)
2) \( y = (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1) \)
Применим правило произведения:
\(
y'(x) = (x^2 + x + 1)'(x^2 — 4x + 1) + (x^2 + x + 1)(x^2 — 4x + 1)’
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = (2x + 1)(x^2 — 4x + 1) + (x^2 + x + 1)(2x — 4)
\)
Раскроем скобки:
\(
y'(x) = 2x^3 — 7x^2 — 2x + 1 + 2x^3 — 2x^2 — 2x — 4
\)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\(
y'(x) = 4x^3 — 9x^2 — 4x — 3
\)
3) \( y = \frac{3x — 1}{x^2 + 1} \)
Применим правило дифференцирования дроби:
\(
y'(x) = \frac{(3x — 1)'(x^2 + 1) — (3x — 1)(x^2 + 1)’}{(x^2 + 1)^2}
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = \frac{3(x^2 + 1) — (3x — 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
Раскроем скобки:
\(
y'(x) = \frac{3x^2 + 3 — 6x^2 + 2x}{(x^2 + 1)^2}
\)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\(
y'(x) = \frac{2x — 3x^2 + 3}{(x^2 + 1)^2}
\)
4) \( y = (3 — 2x)\sqrt{x} \)
Применим правило произведения:
\(
y'(x) = (3 — 2x)’ \cdot \sqrt{x} + (3 — 2x) \cdot (\sqrt{x})’
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = (-2) \cdot \sqrt{x} + (3 — 2x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
y'(x) = \frac{3 — 6x}{2\sqrt{x}}
\)
5) \( y = \sqrt{x} \sin x \)
Применим правило произведения:
\(
y'(x) = (\sqrt{x})’ \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot (\sin x)’
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sin x + \sqrt{x} \cdot \cos x
\)
Приведем к общему знаменателю:
\(
y'(x) = \frac{\sin x + 2x \cos x}{2\sqrt{x}}
\)
6) \( y = 2^x \cos x \)
Применим правило произведения:
\(
y'(x) = (2^x)’ \cdot \cos x + 2^x \cdot (\cos x)’
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = 2^x \ln 2 \cos x + 2^x (-\sin x)
\)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\(
y'(x) = 2^x (\ln 2 \cos x — \sin x)
\)
7) \( y = \tan \frac{x}{6} \)
Применим правило сложной функции:
\(
y'(x) = \left(\frac{x}{6}\right)’ \cdot \left(\tan \frac{x}{6}\right)’
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{6}}
\)
Окончательно:
\(
y'(x) = \frac{1}{6 \cos^2 \frac{x}{6}}
\)
8) \( y = (2x — 1)^6 \)
Применим правило сложной функции:
\(
y'(x) = 6(2x — 1)^5 \cdot (2x — 1)’
\)
Вычислим производную внутренней функции:
\(
y'(x) = 6(2x — 1)^5 \cdot 2
\)
Окончательно:
\(
y'(x) = 12(2x — 1)^5
\)
9) \( y = \log_3(2x^2 — 3x + 1) \)
Применим правило дифференцирования логарифма:
\(
y'(x) = \frac{(2x^2 — 3x + 1)’}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3}
\)
Вычислим производную числителя:
\(
y'(x) = \frac{2 \cdot 2x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3}
\)
Сгруппируем подобные слагаемые:
\(
y'(x) = \frac{4x — 3}{(2x^2 — 3x + 1) \ln 3}
\)
10) \( y = 14^{2 — 5x} \)
Применим правило сложной функции:
\(
y'(x) = (2 — 5x)’ \cdot (14^{2 — 5x})’
\)
Вычислим производные:
\(
y'(x) = -5 \cdot 14^{2 — 5x} \cdot \ln 14
\)
11) \( y = x^3 + \ln(6x — 1) \)
Найдем производные каждого слагаемого:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(\ln(6x — 1))
\)
\(
y'(x) = 3x^2 + \frac{6}{6x — 1}
\)
12) \( y = \frac{1}{2x^3} + \frac{4}{x^2} \)
Найдем производные каждого слагаемого:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2x^3}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{4}{x^2}\right)
\)
\(
y'(x) = -\frac{3x^4}{2x^6} — \frac{4}{x^3}
\)
Приведем к окончательному виду:
\(
y'(x) = -\frac{3}{2x^4} — \frac{4}{x^3}
\)