ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 405 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить значение производной функции \( f(x) \) в заданной точке \( x_0 \):
1) \( f(x) = \frac{3x^2}{1-x}, \quad x_0 = -1 \);
2) \( f(x) = \sqrt{5x^2 — 2x}, \quad x_0 = 2 \);
3) \( f(x) = \frac{1 + \sin(x)}{4 — \sin(x)}, \quad x_0 = 0 \);
4) \( f(x) = \cos(2x) — \sin\left(\frac{\pi}{3}\right), \quad x_0 = \frac{\pi}{2} \);
5) \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x}, \quad x_0 = 1 \);
6) \( f(x) = e^{2x — 1}, \quad x_0 = \frac{1}{2} \).

1) \( f(x) = \frac{3x^2}{1 — x}, \quad x_0 = -1 \);
\(
f'(x) = \frac{3 \cdot 2x \cdot (1 — x) — 3x^2 \cdot (-1)}{(1 — x)^2}
\)
\(
f'(-1) = \frac{-6 \cdot 2 + 3}{2^2} = \frac{3 — 12}{4} = -\frac{9}{4}
\)
Ответ: \(-\frac{9}{4}\)

2) \( f(x) = \sqrt{5x^2 — 2x}, \quad x_0 = 2 \);
\(
f'(x) = \frac{5 \cdot 2x — 2}{2\sqrt{5x^2 — 2x}} = \frac{10x — 2}{2\sqrt{5x^2 — 2x}}
\)
\(
f'(2) = \frac{20 — 2}{2\sqrt{20 — 4}} = \frac{18}{2\sqrt{16}} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}
\)
Ответ: \(\frac{9}{4}\)

3) \( f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 — \sin x}, \quad x_0 = 0 \);
\(
f'(x) = \frac{\cos x \cdot (4 — \sin x) — (1 + \sin x) \cdot (-\cos x)}{(4 — \sin x)^2}
\)
\(
f'(0) = \frac{1 \cdot (4 — 0) — (1 + 0) \cdot (-1)}{(4 — 0)^2} = \frac{4 + 1}{4^2} = \frac{5}{16}
\)
Ответ: \(\frac{5}{16}\)

4) \( f(x) = \cos 2x — \sin \frac{\pi}{3}, \quad x_0 = \frac{\pi}{2} \);
\(
f'(x) = 2 \cdot (-\sin 2x) = -2 \sin 2x;
\)
\(
f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin \pi = -2 \cdot 0 = 0;
\)
Ответ: \( 0 \).

5) \( f(x) = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1 \);
\(
f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(\ln x) \cdot x — \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2}.
\)
\(
f'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2} = 1 — 0 = 1;
\)
Ответ: \( 1 \).

6) \( f(x) = e^{2x — 1}, \quad x_0 = \frac{1}{2} \);
\(
f'(x) = (e^{2x — 1})’ = 2 \cdot e^{2x — 1};
\)
\(
f’\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot e^{1 — 1} = 2 \cdot e^0 = 2;
\)
Ответ: \( 2 \).

1) \( f(x) = \frac{3x^2}{1 — x}, \quad x_0 = -1 \)
Функция представляет собой дробь, для которой вычисляем производную по правилу производной частного:
\(
f'(x) = \frac{(3 \cdot 2x) \cdot (1 — x) — 3x^2 \cdot (-1)}{(1 — x)^2}
\)
Подставим \( x_0 = -1 \):
\(
f'(-1) = \frac{-6 \cdot (1 — (-1)) + 3 \cdot (-1)^2}{(1 — (-1))^2} = \frac{-6 \cdot 2 + 3}{2^2} = \frac{3 — 12}{4} = -\frac{9}{4}
\)
Ответ: \(-\frac{9}{4}\)

2) \( f(x) = \sqrt{5x^2 — 2x}, \quad x_0 = 2 \)
Функция содержит корень, производная которого вычисляется по правилу производной корня:
\(
f'(x) = \frac{(5 \cdot 2x — 2)}{2\sqrt{5x^2 — 2x}} = \frac{10x — 2}{2\sqrt{5x^2 — 2x}}
\)
Подставим \( x_0 = 2 \):
\(
f'(2) = \frac{10 \cdot 2 — 2}{2\sqrt{5 \cdot 2^2 — 2 \cdot 2}} = \frac{20 — 2}{2\sqrt{20 — 4}} = \frac{18}{2\sqrt{16}} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}
\)
Ответ: \(\frac{9}{4}\)

3) \( f(x) = \frac{1 + \sin x}{4 — \sin x}, \quad x_0 = 0 \)
Функция представляет собой дробь, для которой вычисляем производную по правилу производной частного:
\(
f'(x) = \frac{\cos x \cdot (4 — \sin x) — (1 + \sin x) \cdot (-\cos x)}{(4 — \sin x)^2}
\)
Подставим \( x_0 = 0 \):
\(
f'(0) = \frac{\cos 0 \cdot (4 — \sin 0) — (1 + \sin 0) \cdot (-\cos 0)}{(4 — \sin 0)^2} = \frac{1 \cdot (4 — 0) — (1 + 0) \cdot (-1)}{(4 — 0)^2} = \frac{4 + 1}{4^2} = \frac{5}{16}
\)
Ответ: \(\frac{5}{16}\)

4) \( f(x) = \cos 2x — \sin \frac{\pi}{3}, \quad x_0 = \frac{\pi}{2} \)
Функция состоит из двух слагаемых, производная второго слагаемого равна нулю, так как оно является константой. Производная первого слагаемого вычисляется по правилу производной сложной функции:
\(
f'(x) = 2 \cdot (-\sin 2x) = -2 \sin 2x
\)
Подставим \( x_0 = \frac{\pi}{2} \):
\(
f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \sin \pi = -2 \cdot 0 = 0
\)
Ответ: \( 0 \)

5) \( f(x) = \frac{\ln x}{x}, \quad x_0 = 1 \)
Функция представляет собой дробь, для которой вычисляем производную по правилу производной частного:
\(
f'(x) = \frac{\frac{d}{dx}(\ln x) \cdot x — \ln x \cdot \frac{d}{dx}(x)}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x — \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 — \ln x}{x^2}
\)
Подставим \( x_0 = 1 \):
\(
f'(1) = \frac{1 — \ln 1}{1^2} = 1 — 0 = 1
\)
Ответ: \( 1 \)

6) \( f(x) = e^{2x — 1}, \quad x_0 = \frac{1}{2} \)
Функция представляет собой экспоненту, производная которой вычисляется по правилу производной сложной функции:
\(
f'(x) = (e^{2x — 1})’ = 2 \cdot e^{2x — 1}
\)
Подставим \( x_0 = \frac{1}{2} \):
\(
f’\left(\frac{1}{2}\right) = 2 \cdot e^{2 \cdot \frac{1}{2} — 1} = 2 \cdot e^{1 — 1} = 2 \cdot e^0 = 2
\)
Ответ: \( 2 \)