ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 406 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство \( f'(x) \geq g'(x) \), если:

1) \( f(x) = x^3 + x — \sqrt{3}, \quad g(x) = 3x^2 — x — \ln(2); \)
2) \( f(x) = x — x^3, \quad g(x) = \frac{2}{x}; \)
3) \( f(x) = 2 \cdot 3^x, \quad g(x) = 9^{x-1}. \)

Решить неравенство:

1) \( f(x) = x^3 + x — \sqrt{3}; \quad g(x) = 3x^2 — x — \ln2; \)
\( f'(x) = 3x^2 + 1, \quad g'(x) = 6x — 1; \)
\( 3x^2 + 1 \geq 6x — 1, \quad 3x^2 — 6x + 2 \geq 0; \)
\( D = 6^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 — 24 = 12, \) тогда:
\(
x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3};
\)
Ответ:
\(
(-\infty; \frac{3 — \sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{3 + \sqrt{3}}{3}; +\infty).
\)

2) \( f(x) = x — x^3, \quad g(x) = \frac{2}{x}; \)
\( f'(x) = 1 — 3x^2, \quad g'(x) = -\frac{2}{x^2}; \)
\( 1 — 3x^2 \geq -\frac{2}{x^2}, \quad 3x^4 — x^2 — 2 \leq 0; \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25, \) тогда:
\(
x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 5}{6}.
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 5}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}.
\)
\(
(3x^2 + 2)(x^2 — 1) \leq 0, \quad x^2 \leq 1, \quad x \neq 0;
\)
Ответ:
\(
[-1; 0) \cup (0; 1].
\)

3) \( f(x) = 2 \cdot 3^x, \quad g(x) = 9^{x-1}; \)
\( f'(x) = 2 \cdot 3^x \ln3, \quad g'(x) = 9^{x-1} \ln9; \)
\(
2 \cdot 3^x \ln3 \geq 9^{x-1} \ln9, \quad 9 \cdot 3^x \ln9 \leq 1;
\)
\(
3^{2x} \leq 3^{x+2}, \quad 2x \leq x + 2, \quad x \leq 2;
\)
Ответ:
\(
(-\infty; 2].
\)

1) \( f(x) = x^3 + x — \sqrt{3}, \quad g(x) = 3x^2 — x — \ln2 \)
Вычислим производные функций:
\( f'(x) = 3x^2 + 1, \quad g'(x) = 6x — 1 \).

Рассмотрим неравенство:
\( f'(x) \geq g'(x) \), то есть:
\( 3x^2 + 1 \geq 6x — 1 \).

Перепишем:
\( 3x^2 — 6x + 2 \geq 0 \).

Решим квадратное уравнение \( 3x^2 — 6x + 2 = 0 \):
Дискриминант:
\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 2 = 36 — 24 = 12 \).

Корни:
\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 3} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}.
\)

То есть:
\( x_1 = \frac{3 — \sqrt{3}}{3}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}. \)

Поскольку старший коэффициент квадратного выражения положителен (\( 3 > 0 \)), то знак выражения \( 3x^2 — 6x + 2 \geq 0 \) сохраняется на интервалах:
\(
(-\infty; x_1] \cup [x_2; +\infty).
\)

Ответ:
\(
(-\infty; \frac{3 — \sqrt{3}}{3}] \cup [\frac{3 + \sqrt{3}}{3}; +\infty).
\)

2) \( f(x) = x — x^3, \quad g(x) = \frac{2}{x} \)
Вычислим производные функций:
\( f'(x) = 1 — 3x^2, \quad g'(x) = -\frac{2}{x^2} \).

Рассмотрим неравенство:
\( f'(x) \geq g'(x) \), то есть:
\( 1 — 3x^2 \geq -\frac{2}{x^2} \).

Перепишем:
\( 1 — 3x^2 + \frac{2}{x^2} \geq 0 \).

Домножим на \( x^2 \) (при \( x \neq 0 \)):
\( x^2 — 3x^4 + 2 \geq 0 \).

Рассмотрим уравнение \( 3x^4 — x^2 — 2 = 0 \):
Дискриминант:
\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \).

Корни:
\(
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 3}.
\)

То есть:
\( x_1 = \frac{-1 — 5}{6} = -1, \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3}. \)

Разложим выражение на множители:
\(
(3x^2 + 2)(x^2 — 1) \leq 0.
\)

Решим неравенство:
\( x^2 \leq 1 \), при этом \( x \neq 0 \).

Ответ:
\(
[-1; 0) \cup (0; 1].
\)

3) \( f(x) = 2 \cdot 3^x, \quad g(x) = 9^{x-1} \)
Вычислим производные функций:
\( f'(x) = 2 \cdot 3^x \ln3, \quad g'(x) = 9^{x-1} \ln9. \)

Рассмотрим неравенство:
\( f'(x) \geq g'(x) \), то есть:
\( 2 \cdot 3^x \ln3 \geq 9^{x-1} \ln9 \).

Перепишем:
\( 2 \cdot 3^x \ln3 \geq \frac{9^x}{9} \ln9, \quad 9 \cdot 3^x \ln9 \leq 1. \)

Домножим на \( \ln9 \):
\( 3^{2x} \leq 3^{x+2}. \)

Решим:
\( 2x \leq x + 2, \quad x \leq 2. \)

Ответ:
\(
(-\infty; 2].
\)