ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 408 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Укажите среди данных функций ту функцию, для которой касательная в точке с абсциссой \(x_0 = 0\) является горизонтальной прямой:
1) \(y = x^3 + 2x — 3\);
2) \(y = x^2 — 1\);
3) \(y = x^2 — 6x\);
4) \(y = -x^2 — x\).

Верно равенство: \(k = 0, y'(x_0) = 0\);

1) \(y = x^3 + 2x — 3, x_0 = 0\);
\(y'(x) = 3x^2 + 2, y'(0) = 2\);
Ответ: нет.

2) \(y = x^2 — 1, x_0 = 0\);
\(y'(x) = 2x, y'(0) = 0\);
Ответ: да.

3) \(y = x^2 — 6x, x_0 = 0\);
\(y'(x) = 2x — 6, y'(0) = -6\);
Ответ: нет.

4) \(y = -x^2 — x, x_0 = 0\);
\(y'(x) = -2x — 1, y'(0) = -1\);
Ответ: нет.

Верно равенство: \(k = 0, y'(x_0) = 0\).

Рассмотрим каждую функцию:

1) \(y = x^3 + 2x — 3, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x — 3) = 3x^2 + 2.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = 3(0)^2 + 2 = 2.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) не равна нулю (\(y'(0) \neq 0\)), следовательно, касательная не является горизонтальной.
Ответ: нет.

2) \(y = x^2 — 1, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 1) = 2x.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = 2(0) = 0.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) равна нулю (\(y'(0) = 0\)), следовательно, касательная является горизонтальной.
Ответ: да.

3) \(y = x^2 — 6x, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 6x) = 2x — 6.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = 2(0) — 6 = -6.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) не равна нулю (\(y'(0) \neq 0\)), следовательно, касательная не является горизонтальной.
Ответ: нет.

4) \(y = -x^2 — x, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 — x) = -2x — 1.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = -2(0) — 1 = -1.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) не равна нулю (\(y'(0) \neq 0\)), следовательно, касательная не является горизонтальной.
Ответ: нет.

Таким образом, единственная функция, для которой касательная в точке \(x_0 = 0\) является горизонтальной, это \(y = x^2 — 1\).