Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 408 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Укажите среди данных функций ту функцию, для которой касательная в точке с абсциссой \(x_0 = 0\) является горизонтальной прямой:
1) \(y = x^3 + 2x — 3\);
2) \(y = x^2 — 1\);
3) \(y = x^2 — 6x\);
4) \(y = -x^2 — x\).
Верно равенство: \(k = 0, y'(x_0) = 0\);
1) \(y = x^3 + 2x — 3, x_0 = 0\);
\(y'(x) = 3x^2 + 2, y'(0) = 2\);
Ответ: нет.
2) \(y = x^2 — 1, x_0 = 0\);
\(y'(x) = 2x, y'(0) = 0\);
Ответ: да.
3) \(y = x^2 — 6x, x_0 = 0\);
\(y'(x) = 2x — 6, y'(0) = -6\);
Ответ: нет.
4) \(y = -x^2 — x, x_0 = 0\);
\(y'(x) = -2x — 1, y'(0) = -1\);
Ответ: нет.
Верно равенство: \(k = 0, y'(x_0) = 0\).
Рассмотрим каждую функцию:
1) \(y = x^3 + 2x — 3, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + 2x — 3) = 3x^2 + 2.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = 3(0)^2 + 2 = 2.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) не равна нулю (\(y'(0) \neq 0\)), следовательно, касательная не является горизонтальной.
Ответ: нет.
2) \(y = x^2 — 1, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 1) = 2x.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = 2(0) = 0.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) равна нулю (\(y'(0) = 0\)), следовательно, касательная является горизонтальной.
Ответ: да.
3) \(y = x^2 — 6x, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 — 6x) = 2x — 6.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = 2(0) — 6 = -6.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) не равна нулю (\(y'(0) \neq 0\)), следовательно, касательная не является горизонтальной.
Ответ: нет.
4) \(y = -x^2 — x, x_0 = 0\).
Найдём производную функции:
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 — x) = -2x — 1.
\)
Подставим \(x_0 = 0\):
\(
y'(0) = -2(0) — 1 = -1.
\)
Производная в точке \(x_0 = 0\) не равна нулю (\(y'(0) \neq 0\)), следовательно, касательная не является горизонтальной.
Ответ: нет.
Таким образом, единственная функция, для которой касательная в точке \(x_0 = 0\) является горизонтальной, это \(y = x^2 — 1\).