ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 41 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения:

1)

\(
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \ldots + \frac{1}{9 \cdot 10};
\)

2)

\(
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \ldots + \frac{3}{26 \cdot 29}.
\)

Вычислить значение:

1)
\(
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{3 — 2}{2 \cdot 3} + \frac{4 — 3}{3 \cdot 4} + \frac{5 — 4}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{10 — 9}{9 \cdot 10} =
\)
\(
= \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} — \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{9} — \frac{1}{10}\right) =
\)
\(
= \frac{1}{2} — \frac{1}{10} = \frac{10 — 2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}
\)
Ответ: \( \frac{2}{5} \)

2)
\(
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{3}{26 \cdot 29} = \frac{5 — 2}{2 \cdot 5} + \frac{8 — 5}{5 \cdot 8} + \frac{11 — 8}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{29 — 26}{26 \cdot 29} =
\)
\(
= \left(\frac{1}{2} — \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} — \frac{1}{8}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{26} — \frac{1}{29}\right) = \frac{29 — 2}{2 \cdot 29} = \frac{27}{58}
\)
Ответ: \( \frac{27}{58} \)

1)
\(
\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{9 \cdot 10}
\)

разложим каждую дробь:
\(
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} — \frac{1}{n+1}
\)

тогда исходная сумма примет вид:
\(
\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} — \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} — \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{9} — \frac{1}{10} \right)
\)

при сложении все внутренние дроби сократятся, и останется:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{10}
\)

выполним вычисления:
\(
\frac{1}{2} — \frac{1}{10} = \frac{10 — 2}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}
\)

ответ:
\(
\frac{2}{5}
\)

2)
\(
\frac{3}{2 \cdot 5} + \frac{3}{5 \cdot 8} + \frac{3}{8 \cdot 11} + \cdots + \frac{3}{26 \cdot 29}
\)

разложим каждую дробь:
\(
\frac{1}{(3k+2)(3k+5)} = \frac{1}{3k+2} — \frac{1}{3k+5}
\)

тогда исходная сумма примет вид:
\(
3 \cdot \left(
\left( \frac{1}{2} — \frac{1}{5} \right) +
\left( \frac{1}{5} — \frac{1}{8} \right) +
\left( \frac{1}{8} — \frac{1}{11} \right) +
\cdots +
\left( \frac{1}{26} — \frac{1}{29} \right)
\right)
\)

при сложении все внутренние дроби сократятся, и останется:
\(
3 \cdot \left(
\frac{1}{2} — \frac{1}{29}
\right)
\)

выполним вычисления:
\(
3 \cdot \left(
\frac{29 — 2}{2 \cdot 29}
\right) =
3 \cdot
\frac{27}{58} =
\frac{27}{58}
\)

ответ:
\(
\frac{27}{58}
\)