Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 410 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой } x_0:
\)
1) \( f(x) = \sin(2x), \quad x_0 = \frac{\pi}{6}; \)
2) \( f(x) = \frac{2}{x}, \quad x_0 = -2; \)
3) \( f(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right), \quad x_0 = ?; \)
4) \( f(x) = (x-1)\sqrt{2x+1}, \quad x_0 = 4. \)
Уравнение касательной:
1) \(f(x) = \sin 2x, \, x_0 = \frac{\pi}{6}\):
\(f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos 2x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\);
\(f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\);
\(y = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\);
\(y = x — \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\);
2) \(f(x) = \frac{2}{x}, \, x_0 = -2\):
\(f'(-2) = -\frac{2}{x^2} = -\frac{2}{(-2)^2} = -\frac{1}{2}\);
\(f(-2) = \frac{2}{-2} = -1\);
\(y = -1 — \frac{1}{2} \cdot (x + 2)\);
\(y = -\frac{1}{2}x — 2\);
3) \(f(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right), \, x_0 = \pi;\)
\(f(\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2};\)
\(f'(\pi) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{6};\)
\(y = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{6}(x — \pi) = -\frac{x\sqrt{2}}{6} + \frac{\pi\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2};\)
4) \(f(x) = (x — 1)\sqrt{2x + 1}, \, x_0 = 4;\)
\(f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2x + 1} + (x — 1) \cdot \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}};\)
\(f(4) = 3 \cdot \sqrt{8 + 1} = 3 \sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9;\)
\(f'(4) = \sqrt{9} + \frac{2}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{2}{3} = 4;\)
\(y = 9 + 4(x — 4) = 4x — 7;\)
уравнение касательной:
1) \(f(x) = \sin(2x), \, x_0 = \frac{\pi}{6}\):
вычислим производную функции \(f'(x) = 2 \cos(2x)\).
найдем значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{6}\):
\(f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1\).
вычислим значение функции в точке \(x_0 = \frac{\pi}{6}\):
\(f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
уравнение касательной имеет вид:
\(y = f\left(x_0\right) + f’\left(x_0\right) \cdot (x — x_0)\),
подставим значения:
\(y = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \left(x — \frac{\pi}{6}\right)\).
упростим выражение:
\(y = x — \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\).
2) \(f(x) = \frac{2}{x}, \, x_0 = -2\):
вычислим производную функции \(f'(x) = -\frac{2}{x^2}\).
найдем значение производной в точке \(x_0 = -2\):
\(f'(-2) = -\frac{2}{(-2)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}\).
вычислим значение функции в точке \(x_0 = -2\):
\(f(-2) = \frac{2}{-2} = -1\).
уравнение касательной имеет вид:
\(y = f\left(x_0\right) + f’\left(x_0\right) \cdot (x — x_0)\),
подставим значения:
\(y = -1 — \frac{1}{2} \cdot (x — (-2))\).
упростим выражение:
\(y = -1 — \frac{1}{2} \cdot (x + 2)\).
\(y = -\frac{1}{2}x — 2\).
3) \(f(x) = \cos\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right), \, x_0 = \pi\):
вычислим значение функции в точке \(x_0 = \pi\):
\(f(\pi) = \cos\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
вычислим производную функции:
\(f'(x) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{x}{3} — \frac{\pi}{12}\right)\).
найдем значение производной в точке \(x_0 = \pi\):
\(f'(\pi) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{12}\right) = -\frac{1}{3} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{6}\).
уравнение касательной имеет вид:
\(y = f\left(x_0\right) + f’\left(x_0\right) \cdot (x — x_0)\),
подставим значения:
\(y = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{6} \cdot (x — \pi)\).
упростим выражение:
\(y = -\frac{x\sqrt{2}}{6} + \frac{\pi\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}\).
4) \(f(x) = (x — 1)\sqrt{2x + 1}, \, x_0 = 4\):
вычислим производную функции:
\(f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2x + 1} + (x — 1) \cdot \frac{2}{2\sqrt{2x + 1}}\).
вычислим значение функции в точке \(x_0 = 4\):
\(f(4) = 3 \cdot \sqrt{8 + 1} = 3 \cdot \sqrt{9} = 3 \cdot 3 = 9\).
вычислим значение производной в точке \(x_0 = 4\):
\(f'(4) = \sqrt{9} + \frac{2}{\sqrt{9}} = 3 + \frac{2}{3} = 4\).
уравнение касательной имеет вид:
\(y = f\left(x_0\right) + f’\left(x_0\right) \cdot (x — x_0)\),
подставим значения:
\(y = 9 + 4(x — 4)\).
упростим выражение:
\(y = 4x — 7\).