Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 413 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите координаты точек пересечения с осями координат касательных к графику функции \(f(x) = \frac{x+4}{x-5}\), угловой коэффициент которых равен \(-1\).
Задана касательная:
\(
f(x) = \frac{x+4}{x-5}, \, k = -1;
\)
1) Угловой коэффициент:
\(
f'(x) = \frac{(x-5) — (x+4)}{(x-5)^2} = -1;
\)
\(
-9 = -x^2 + 10x — 25, \, x^2 — 10x + 16 = 0;
\)
\(
D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 — 64 = 36, \, \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{10 — 6}{2} = 2, \, x_2 = \frac{10 + 6}{2} = 8;
\)
2) Первая касательная:
\(
f(2) = \frac{2+4}{2-5} = \frac{6}{-3} = -2;
\)
\(
y = -2 — 1 \cdot (x-2) = -x;
\)
3) Вторая касательная:
\(
f(8) = \frac{8+4}{8-5} = \frac{12}{3} = 4;
\)
\(
y = 4 \cdot (x-8) = 12-x;
\)
Ответ:
\((0; 0); (0; 12); (12; 0).\)
Задана касательная:
\(
f(x) = \frac{x+4}{x-5}, \, k = -1
\)
1) Угловой коэффициент:
Найдем производную функции \( f(x) \). Используем правило производной дроби:
\(
f'(x) = \frac{(x-5) \cdot 1 — (x+4) \cdot 1}{(x-5)^2} = \frac{x-5 — (x+4)}{(x-5)^2} = \frac{-9}{(x-5)^2}
\)
Так как угловой коэффициент касательной равен \( k = -1 \), приравниваем производную к \(-1\):
\(
\frac{-9}{(x-5)^2} = -1
\)
Умножим обе части уравнения на \((x-5)^2\):
\(
-9 = -1 \cdot (x-5)^2
\)
Уберем знак минуса и раскроем скобки:
\(
9 = (x-5)^2
\)
Возьмем квадратный корень из обеих частей:
\(
x-5 = \pm 3
\)
Получаем два значения \( x \):
\(
x_1 = 5 — 3 = 2, \, x_2 = 5 + 3 = 8
\)
2) Первая касательная:
Найдем значение функции \( f(x) \) в точке \( x_1 = 2 \):
\(
f(2) = \frac{2+4}{2-5} = \frac{6}{-3} = -2
\)
Уравнение касательной имеет вид:
\(
y = f(x_1) + k \cdot (x — x_1)
\)
Подставляем значения \( f(2) = -2 \), \( k = -1 \), \( x_1 = 2 \):
\(
y = -2 — 1 \cdot (x — 2)
\)
Раскрываем скобки:
\(
y = -2 — x + 2
\)
Приводим подобные:
\(
y = -x
\)
3) Вторая касательная:
Найдем значение функции \( f(x) \) в точке \( x_2 = 8 \):
\(
f(8) = \frac{8+4}{8-5} = \frac{12}{3} = 4
\)
Уравнение касательной имеет вид:
\(
y = f(x_2) + k \cdot (x — x_2)
\)
Подставляем значения \( f(8) = 4 \), \( k = -1 \), \( x_2 = 8 \):
\(
y = 4 — 1 \cdot (x — 8)
\)
Раскрываем скобки:
\(
y = 4 — x + 8
\)
Приводим подобные:
\(
y = 12 — x
\)
Ответ:
Касательные пересекаются с осями координат в следующих точках:
1. Первая касательная (\( y = -x \)):
На оси \( y \) (\( x = 0 \)):
\(
y = -0 = 0 \, \Rightarrow \, (0; 0)
\)
На оси \( x \) (\( y = 0 \)):
\(
0 = -x \, \Rightarrow \, x = 0 \, \Rightarrow \, (0; 0)
\)
2. Вторая касательная (\( y = 12 — x \)):
На оси \( y \) (\( x = 0 \)):
\(
y = 12 — 0 = 12 \, \Rightarrow \, (0; 12)
\)
На оси \( x \) (\( y = 0 \)):
\(
0 = 12 — x \, \Rightarrow \, x = 12 \, \Rightarrow \, (12; 0)
\)
Итак, точки пересечения:
\((0; 0)\), \((0; 12)\), \((12; 0)\)