Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 415 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
составьте уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^4 — 4x^3 + 5x\), которая параллельна прямой \(y = 5x — 8\)
Заданы парабола и прямая: \(x^4 — 4x^3 + 5x\), \(y = 5x — 8\);
1) Коэффициент касательной: \(f'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3 \cdot x^2 + 5 = 5\);
\(x^2(x — 3) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\);
2) Первая касательная:
\(f(0) = 0 — 0 + 0 = 0\);
\(y = 5(x — 0) = 5x\);
3) Вторая касательная:
\(f(3) = 81 — 108 + 15 = -12\);
\(y = -12 + 5(x — 3) = 5x — 27\);
Ответ:
\(y = 5x\);
\(y = 5x — 27\).
Заданы парабола и прямая: \(x^4 — 4x^3 + 5x\), \(y = 5x — 8\).
1) Найдём коэффициент касательной. Для этого вычислим производную функции:
\(f'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3 \cdot x^2 + 5 = 4x^3 — 12x^2 + 5\).
Так как касательная параллельна прямой \(y = 5x — 8\), её угловой коэффициент равен \(5\).
Приравниваем производную к \(5\):
\(4x^3 — 12x^2 + 5 = 5\).
Упростим уравнение:
\(4x^3 — 12x^2 = 0\).
Вынесем общий множитель:
\(x^2(4x — 12) = 0\).
Решим уравнение:
\(x^2 = 0 — x = 0\),
\(4x — 12 = 0 — x = 3\).
Таким образом, точки касания находятся при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\).
2) Найдём первую касательную. Подставим \(x_1 = 0\) в исходную функцию:
\(f(0) = (0)^4 — 4(0)^3 + 5(0) = 0\).
Точка касания имеет координаты \((0, 0)\).
Уравнение касательной:
\(y = 5(x — 0) + 0 = 5x\).
Первая касательная: \(y = 5x\).
3) Найдём вторую касательную. Подставим \(x_2 = 3\) в исходную функцию:
\(f(3) = (3)^4 — 4(3)^3 + 5(3) = 81 — 108 + 15 = -12\).
Точка касания имеет координаты \((3, -12)\).
Уравнение касательной:
\(y = 5(x — 3) — 12 = 5x — 15 — 12 = 5x — 27\).
Вторая касательная: \(y = 5x — 27\).
Ответ:
\(y = 5x\),
\(y = 5x — 27\).