ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 415 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

составьте уравнение касательной к графику функции \(f(x) = x^4 — 4x^3 + 5x\), которая параллельна прямой \(y = 5x — 8\)

Заданы парабола и прямая: \(x^4 — 4x^3 + 5x\), \(y = 5x — 8\);

1) Коэффициент касательной: \(f'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3 \cdot x^2 + 5 = 5\);
\(x^2(x — 3) = 0\), \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\);

2) Первая касательная:
\(f(0) = 0 — 0 + 0 = 0\);
\(y = 5(x — 0) = 5x\);

3) Вторая касательная:
\(f(3) = 81 — 108 + 15 = -12\);
\(y = -12 + 5(x — 3) = 5x — 27\);

Ответ:
\(y = 5x\);
\(y = 5x — 27\).

Заданы парабола и прямая: \(x^4 — 4x^3 + 5x\), \(y = 5x — 8\).

1) Найдём коэффициент касательной. Для этого вычислим производную функции:
\(f'(x) = 4x^3 — 4 \cdot 3 \cdot x^2 + 5 = 4x^3 — 12x^2 + 5\).

Так как касательная параллельна прямой \(y = 5x — 8\), её угловой коэффициент равен \(5\).
Приравниваем производную к \(5\):
\(4x^3 — 12x^2 + 5 = 5\).

Упростим уравнение:
\(4x^3 — 12x^2 = 0\).

Вынесем общий множитель:
\(x^2(4x — 12) = 0\).

Решим уравнение:
\(x^2 = 0 — x = 0\),
\(4x — 12 = 0 — x = 3\).

Таким образом, точки касания находятся при \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 3\).

2) Найдём первую касательную. Подставим \(x_1 = 0\) в исходную функцию:
\(f(0) = (0)^4 — 4(0)^3 + 5(0) = 0\).

Точка касания имеет координаты \((0, 0)\).
Уравнение касательной:
\(y = 5(x — 0) + 0 = 5x\).

Первая касательная: \(y = 5x\).

3) Найдём вторую касательную. Подставим \(x_2 = 3\) в исходную функцию:
\(f(3) = (3)^4 — 4(3)^3 + 5(3) = 81 — 108 + 15 = -12\).

Точка касания имеет координаты \((3, -12)\).
Уравнение касательной:
\(y = 5(x — 3) — 12 = 5x — 15 — 12 = 5x — 27\).

Вторая касательная: \(y = 5x — 27\).

Ответ:
\(y = 5x\),
\(y = 5x — 27\).