ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 416 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к графику функции \(f(x) = \sqrt{3x^2 — 8}\), которая параллельна прямой \(y = 3x + 5\).

Даны функция и прямая:
\(y = \sqrt{3x^2 — 8}\), \(y = 3x + 5\);

1) Угловой коэффициент:
\(
y’ = \frac{3 \cdot 2x}{2\sqrt{3x^2 — 8}} = 3, \quad k = 3;
\)
\(
x = \sqrt{3x^2 — 8}, \quad 3x^2 — 8 = x^2, \quad 2x^2 = 8, \quad x^2 = 4, \quad x = 2;
\)

2) Уравнение касательной:
\(
f(2) = \sqrt{3 \cdot 4 — 8} = \sqrt{4} = 2;
\)
\(
y = 2 + 3(x — 2) = 3x — 4;
\)

3) Площадь треугольника:
\(
3x — 4 = 0, \quad 3x = 4, \quad x = \frac{4}{3};
\)
\(
y = |y(0)| = |0 — 4| = 4;
\)
\(
S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{2 \cdot 4}{3} = \frac{8}{3};
\)

Ответ: \(S = \frac{8}{3}\).

Даны функция и прямая:
\(y = \sqrt{3x^2 — 8}\), \(y = 3x + 5\).

1) Угловой коэффициент:
Для вычисления производной функции \(y = \sqrt{3x^2 — 8}\) используем правило дифференцирования сложной функции. Производная корня равна:
\(y’ = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u’\), где \(u = 3x^2 — 8\), а \(u’ = 6x\).

Таким образом:
\(y’ = \frac{6x}{2\sqrt{3x^2 — 8}} = \frac{3x}{\sqrt{3x^2 — 8}}\).

По условию прямая \(y = 3x + 5\) имеет угловой коэффициент \(k = 3\). Чтобы найти точку касания, приравниваем производную функции к угловому коэффициенту прямой:
\(\frac{3x}{\sqrt{3x^2 — 8}} = 3\).

Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{3x^2 — 8}\):
\(3x = 3\sqrt{3x^2 — 8}\).

Разделим обе части на 3:
\(x = \sqrt{3x^2 — 8}\).

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(x^2 = 3x^2 — 8\).

Переносим \(3x^2\) в левую часть:
\(-2x^2 = -8\).

Разделим обе части на \(-2\):
\(x^2 = 4\).

Извлекаем корень:
\(x = 2\) (так как \(x > 0\)).

2) Уравнение касательной:
Найдем значение функции в точке \(x = 2\):
\(f(2) = \sqrt{3 \cdot 2^2 — 8} = \sqrt{3 \cdot 4 — 8} = \sqrt{12 — 8} = \sqrt{4} = 2\).

Точка касания имеет координаты \((2, 2)\).

Уравнение касательной записывается в виде:
\(y = f(a) + k(x — a)\), где \(a = 2\), \(f(a) = 2\), \(k = 3\).

Подставим значения:
\(y = 2 + 3(x — 2)\).

Раскроем скобки:
\(y = 2 + 3x — 6\).

Приведем подобные:
\(y = 3x — 4\).

Таким образом, уравнение касательной:
\(y = 3x — 4\).

3) Площадь треугольника:
Найдем точку пересечения касательной с осью \(Ox\) (где \(y = 0\)):
\(3x — 4 = 0\).

Решим уравнение:
\(3x = 4\).
\(x = \frac{4}{3}\).

Теперь найдем точку пересечения касательной с осью \(Oy\) (где \(x = 0\)):
\(y = 3 \cdot 0 — 4 = -4\).

Модуль \(y\)-координаты точки пересечения с осью \(Oy\) равен \(4\).

Площадь треугольника, образованного касательной и осями координат, вычисляется по формуле:
\(S = \frac{1}{2} \cdot |x_1| \cdot |y_1|\), где \((x_1, 0)\) и \((0, y_1)\) — точки пересечения касательной с осями \(Ox\) и \(Oy\).

Подставим значения:
\(S = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{3} = \frac{8}{3}\).

Ответ: \(S = \frac{8}{3}\).