ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 419 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Функция \(y = f(x)\) определена на промежутке \([-8; 3]\) и имеет производную в каждой точке области определения. На рисунке 20 изображён график её производной \(y = f'(x)\). Укажите:

1) промежутки возрастания и убывания функции \(y = f(x)\);
2) точки минимума и точки максимума функции \(y = f(x)\).

График производной: \[y = f'(x), x \in [-8; 3]\]

1) Промежутки монотонности:
Возрастает на \([-6; -3]\) и \([2; 3]\)
Убывает на \([-8; -6]\) и \([-3; 2]\)

2) Точки максимума и минимума:
\(
x_{\text{max}} = -3, \quad x_{\text{min}} = -6, \quad x_{\text{min}} = 2.
\)

График производной: \(y = f'(x), x \in [-8; 3]\).

1) Промежутки монотонности:
Функция \(y = f(x)\) возрастает там, где производная \(f'(x) > 0\).
На графике видно, что производная положительна на промежутках \((-6; -3)\) и \((2; 3)\).
Следовательно, функция возрастает на промежутках \((-6; -3)\) и \((2; 3)\).

Функция \(y = f(x)\) убывает там, где производная \(f'(x) < 0\).
На графике видно, что производная отрицательна на промежутках \((-8; -6)\) и \((-3; 2)\).
Следовательно, функция убывает на промежутках \((-8; -6)\) и \((-3; 2)\).

2) Точки минимума и максимума:
Точки экстремума функции \(y = f(x)\) находятся там, где производная \(f'(x) = 0\), и при этом меняет знак.

На графике видно, что:
— В точке \(x = -3\) производная \(f'(x)\) равна нулю и меняет знак с положительного на отрицательный. Следовательно, это точка максимума: \(x_{\text{max}} = -3\).
— В точке \(x = -6\) производная \(f'(x)\) равна нулю и меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, это точка минимума: \(x_{\text{min}} = -6\).
— В точке \(x = 2\) производная \(f'(x)\) равна нулю и меняет знак с отрицательного на положительный. Следовательно, это точка минимума: \(x_{\text{min}} = 2\).

Таким образом:
\(
x_{\text{max}} = -3, \quad x_{\text{min}} = -6, \quad x_{\text{min}} = 2.
\)