ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 421 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума функции:

1) \(
f(x) = -8x^3 — x^2 + 2x;
\)
2) \(
f(x) = x^3 + 2x — 10;
\)
3) \(
f(x) = x^5 — 5x^4 + 2;
\)
4) \(
f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x};
\)
5) \(
f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2};
\)
6) \(
f(x) = \frac{5 — 2x}{x^2 — 4};
\)
7) \(
f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8};
\)
8) \(
f(x) = (1 — x)e^{-x};
\)
9) \(
f(x) = \frac{x}{e} — e^x;
\)
10) \(
f(x) = x^2 — 8\ln(x);
\)
11) \(
f(x) = \sqrt{x}(\ln(x) — 4);
\)
12) \(
f(x) = \frac{\ln(x) + 2}{\sqrt{x}}.
\)

Найти промежутки монотонности и точки экстремума для функции:

1) \(f(x) = -8x^3 — x^2 + 2x;\)
\(f'(x) = -8 \cdot 3x^2 — 2x + 2 \geq 0;\)
\(12x^2 + x — 1 \leq 0;\)
\(D = 12^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49,\) тогда:
\(
x_1 = \frac{-1 — 7}{2 \cdot 12} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 12} = \frac{1}{4};
\)
\((x + \frac{1}{3})(x — \frac{1}{4}) \leq 0,\)
\(-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{4};\)

Ответ:
Функция возрастает на \((- \frac{1}{3}; \frac{1}{4});\)
убывает на \((-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty);\)
\(
x_{\text{max}} = \frac{1}{4}, \quad x_{\text{min}} = -\frac{1}{3}.
\)

2) \(f(x) = x^3 + 2x — 10;\)
\(f'(x) = 3x^2 + 2 \geq 0;\)
\(3x^2 \geq -2, \, x \in \mathbb{R};\)

Ответ:
Возрастает на \(\mathbb{R}.\)

3) \(f(x) = x^5 — 5x^4 + 2;\)
\(f'(x) = 5x^4 — 5 \cdot 4x^3 \geq 0;\)
\(5x^3(x — 4) \geq 0,\)
\(x \leq 0, \, x \geq 4;\)

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; 0) \cup (4; +\infty);\)
Функция убывает на \((0; 4);\)
\(
x_{\text{max}} = 0, \quad x_{\text{min}} = 4.
\)

4) \(f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x};\)
\(f'(x) = \frac{1}{4} — \frac{4}{x^2} \geq 0;\)
\(f'(x) = \frac{x^2 — 16}{4x^2} \geq 0;\)
\(\frac{(x + 4)(x — 4)}{x^2} \geq 0;\)
\(x \leq -4, \, x \neq 0, \, x \geq 4;\)

Ответ: возрастает на \((-\infty; -4) \cup (4; +\infty);\)
функция убывает на \([-4; 0) \cup (0; 4];\)
\(
x_{\text{max}} = -4, \quad x_{\text{min}} = 4.
\)

5) \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2};\)
\(f'(x) = 2x — \frac{2}{x^3} \geq 0;\)
\(f'(x) = \frac{2x^4 — 2}{x^3} \geq 0;\)
\(\frac{2(x^2 + 1)(x^2 — 1)}{x} \geq 0;\)
\(\frac{(x + 1)(x — 1)}{x} \geq 0;\)
\(-1 \leq x < 0, \, x \geq 1;\)

Ответ: возрастает на \([-1; 0) \cup [1; +\infty);\)
убывает на \((-\infty; -1] \cup (0; 1];\)
\(
x_{\text{min}} = 1, \quad x_{\text{min}} = 1.
\)

6) \(f(x) = \frac{5 — 2x}{x^2 — 4};\)
\(
f'(x) = \frac{-2(x^2 — 4) — (5 — 2x) \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{-2x^2 + 8 — 10x + 4x^2}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{2(x^2 — 5x + 4)}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9, \text{ тогда: }
x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4;
\)
\(
\frac{(x — 1)(x — 4)}{(x + 2)^2(x — 2)^2} \geq 0, \quad x \leq 1, \, x \geq 4, \, x \neq \pm 2;
\)

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; 1) \cup (4; +\infty);\)
Функция убывает на \((1; 2) \cup (2; 4);\)
\(
x_{\text{max}} = 1, \quad x_{\text{min}} = 4.
\)

7) \(f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8};\)
\(
f'(x) = \frac{3x^2(x^3 + 8) — x^3 \cdot 3x^2}{(x^3 + 8)^2} \geq 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{3x^5 + 24x^2 — 3x^5}{(x^3 + 8)^2} \geq 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{24x^2}{(x^3 + 8)^2} \geq 0, \quad x \in \mathbb{R}, \, x + 2 \neq 0, \, x \neq -2;
\)

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty).\)

8) \(f(x) = (1 — x)e^{-x};\)
\(f'(x) = -1 \cdot e^{-x} + (1 — x)(-e^{-x}) \geq 0;\)
\(f'(x) = -e^{-x} — e^{-x} + xe^{-x} \geq 0;\)
\(e^{-x} \cdot (x — 2) \geq 0, \, x \geq 2;\)

Ответ:
Возрастает на \([2; +\infty);\)
Убывает на \((-\infty; 2];\)
\(x_{\text{min}} = 2.\)

9) \(f(x) = \frac{x}{e} — e^{x};\)
\(f'(x) = \frac{1}{e} — e^{x} \geq 0;\)
\(
\frac{1 — e^{x+1}}{e} \geq 0, \quad e^{x+1} \leq 1;
\)
\(x + 1 \leq 0, \, x \leq -1;\)

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -1];\)
Убывает на \([-1; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = -1.\)

10) \(f(x) = x^2 — 8 \ln x;\)
\(f'(x) = 2x — \frac{8}{x} \geq 0;\)
\(
f'(x) = \frac{2x^2 — 8}{x} \geq 0;
\)
\(
\frac{(x + 2)(x — 2)}{x} \geq 0;
\)
\(x \leq -2, \, x \geq 2, \, x > 0;\)

Ответ:
Возрастает на \([2; +\infty);\)
Убывает на \((0; 2];\)
\(x_{\text{min}} = 2.\)

11) \(f(x) = \sqrt{x} (\ln x — 4);\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot (\ln x — 4) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} \geq 0;\)
\(
f'(x) = \frac{\ln x — 4 + 2}{2\sqrt{x}} \geq 0, \quad \frac{\ln x — 2}{\sqrt{x}} \geq 0;
\)
\(\ln x \geq 2, \, x \geq e^2, \, x > 0;\)

Ответ:
Возрастает на \([e^2; +\infty);\)
Убывает на \((0; e^2];\)
\(x_{\text{min}} = e^2.\)

12) \(f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}};\)
\(
f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — (\ln x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \geq 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{2 — \ln x — 2}{2\sqrt{x} \cdot x} \geq 0, \quad \frac{\ln x}{x \sqrt{x}} \leq 0;
\)
\(\ln x \leq 0, \, x \leq 1, \, x > 0;\)

Ответ:
Возрастает на \((0; 1];\)
Убывает на \([1; +\infty);\)
\(x_{\text{max}} = 1.\)

1) \(f(x) = -8x^3 — x^2 + 2x\)
\(f'(x) = -8 \cdot 3x^2 — 2x + 2 = -24x^2 — 2x + 2\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(-24x^2 — 2x + 2 \geq 0\)
\(-12x^2 — x + 1 \leq 0\)
Находим дискриминант:
\(D = (-1)^2 — 4 \cdot (-12) \cdot 1 = 1 + 48 = 49\)
Корни:
\(x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{49}}{2 \cdot (-12)} = -\frac{1}{3}, \quad x_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{49}}{2 \cdot (-12)} = \frac{1}{4}\)
Разложение на множители:
\((-12x^2 — x + 1) = -12(x + \frac{1}{3})(x — \frac{1}{4})\)
Исследуем знак выражения:
\((-x — \frac{1}{3})(x — \frac{1}{4}) \leq 0\)
Интервал решения:
\(-\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{1}{4}\)

Ответ:
Функция возрастает на \((- \frac{1}{3}; \frac{1}{4})\),
убывает на \((-\infty; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)\),
экстремумы:
\(x_{\text{max}} = \frac{1}{4}, \quad x_{\text{min}} = -\frac{1}{3}\).

2) \(f(x) = x^3 + 2x — 10\)
\(f'(x) = 3x^2 + 2\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(3x^2 + 2 \geq 0\)
Так как \(3x^2 \geq -2\) всегда выполняется, производная не меняет знак.

Ответ:
Функция возрастает на \(\mathbb{R}\).

3) \(f(x) = x^5 — 5x^4 + 2\)
\(f'(x) = 5x^4 — 20x^3 = 5x^3(x — 4)\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(5x^3(x — 4) \geq 0\)
\(x \leq 0\) или \(x \geq 4\)

Ответ:
Функция возрастает на \((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)\),
убывает на \((0; 4)\),
экстремумы:
\(x_{\text{max}} = 0, \quad x_{\text{min}} = 4\).

4) \(f(x) = \frac{x}{4} + \frac{4}{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{4} — \frac{4}{x^2}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{x^2 — 16}{4x^2}\)
Решаем неравенство:
\(\frac{(x + 4)(x — 4)}{4x^2} \geq 0\)
Знак выражения меняется в точках \(x = -4, x = 4, x = 0\).
Интервалы:
\(x \leq -4\), \(x \geq 4\), \(x \neq 0\).

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -4) \cup (4; +\infty)\),
убывает на \([-4; 0) \cup (0; 4]\),
экстремумы:
\(x_{\text{max}} = -4, \quad x_{\text{min}} = 4\).

5) \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)
\(f'(x) = 2x — \frac{2}{x^3}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{2x^4 — 2}{x^3}\)
Разложение на множители:
\(f'(x) = \frac{2(x^2 — 1)(x^2 + 1)}{x^3}\)
Решаем неравенство:
\(\frac{(x + 1)(x — 1)}{x} \geq 0\)
Интервалы:
\(-1 \leq x < 0\), \(x \geq 1\).

Ответ:
Возрастает на \([-1; 0) \cup [1; +\infty)\),
убывает на \((-\infty; -1] \cup (0; 1]\),
экстремумы:
\(x_{\text{min}} = 1, \quad x_{\text{min}} = 1\).

6) \(f(x) = \frac{5 — 2x}{x^2 — 4}\)
\(f'(x) = \frac{-2(x^2 — 4) — (5 — 2x) \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{-2x^2 + 8 — 10x + 4x^2}{(x^2 — 4)^2}\)
\(f'(x) = \frac{2(x^2 — 5x + 4)}{(x^2 — 4)^2}\)
Находим корни квадратного уравнения:
\(D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 — 16 = 9\)
\(x_1 = \frac{5 — 3}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4\)
Решаем неравенство:
\(\frac{(x — 1)(x — 4)}{(x + 2)^2(x — 2)^2} \geq 0\)
Интервалы:
\(x \leq 1\), \(x \geq 4\), \(x \neq \pm 2\).

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; 1) \cup (4; +\infty)\),
убывает на \((1; 2) \cup (2; 4)\),
экстремумы:
\(x_{\text{max}} = 1, \quad x_{\text{min}} = 4\).

7) \(f(x) = \frac{x^3}{x^3 + 8}\)
\(f'(x) = \frac{3x^2(x^3 + 8) — x^3 \cdot 3x^2}{(x^3 + 8)^2}\)
Упрощаем выражение:
\(f'(x) = \frac{24x^2}{(x^3 + 8)^2}\)
Так как \(f'(x) \geq 0\), функция возрастает на всей области определения.

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)\).

8) \(f(x) = (1 — x)e^{-x}\)
\(f'(x) = -e^{-x} + (1 — x)(-e^{-x})\)
Упрощаем производную:
\(f'(x) = -e^{-x} — e^{-x} + xe^{-x} = e^{-x}(x — 2)\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(e^{-x}(x — 2) \geq 0\)
Так как \(e^{-x} > 0\) для любого \(x\), знак производной определяется выражением \(x — 2\).
\(x — 2 \geq 0 — x \geq 2\)

Ответ:
Возрастает на \([2; +\infty)\),
убывает на \((-\infty; 2]\),
экстремум:
\(x_{\text{min}} = 2\).

9) \(f(x) = \frac{x}{e} — e^{x}\)
\(f'(x) = \frac{1}{e} — e^{x}\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(\frac{1}{e} — e^{x} \geq 0\)
Приводим к общему виду:
\(\frac{1 — e^{x+1}}{e} \geq 0\)
Положительность дроби определяется числителем:
\(1 — e^{x+1} \geq 0 — e^{x+1} \leq 1\)
Берём логарифм:
\(x + 1 \leq 0 — x \leq -1\)

Ответ:
Возрастает на \((-\infty; -1]\),
убывает на \([-1; +\infty)\),
экстремум:
\(x_{\text{max}} = -1\).

10) \(f(x) = x^2 — 8 \ln x\)
\(f'(x) = 2x — \frac{8}{x}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{2x^2 — 8}{x}\)
Разложение на множители:
\(f'(x) = \frac{2(x^2 — 4)}{x} = \frac{2(x + 2)(x — 2)}{x}\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(\frac{2(x + 2)(x — 2)}{x} \geq 0\)
Знак выражения меняется в точках \(x = -2, x = 2, x = 0\).
Интервалы:
\(x \leq -2\), \(x \geq 2\), \(x > 0\).

Ответ:
Возрастает на \([2; +\infty)\),
убывает на \((0; 2]\),
экстремум:
\(x_{\text{min}} = 2\).

11) \(f(x) = \sqrt{x} (\ln x — 4)\)
\(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (\ln x — 4) + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{\ln x — 4}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x — 4 + 2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x — 2}{\sqrt{x}}\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(\frac{\ln x — 2}{\sqrt{x}} \geq 0\)
Знак дроби определяется числителем:
\(\ln x — 2 \geq 0 — \ln x \geq 2\)
Берём экспоненту:
\(x \geq e^2\)

Ответ:
Возрастает на \([e^2; +\infty)\),
убывает на \((0; e^2]\),
экстремум:
\(x_{\text{min}} = e^2\).

12) \(f(x) = \frac{\ln x + 2}{\sqrt{x}}\)
\(f'(x) = \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x} — (\ln x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
Приводим к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{2 — (\ln x + 2)}{2x\sqrt{x}} = \frac{2 — \ln x — 2}{2x\sqrt{x}} = \frac{-\ln x}{2x\sqrt{x}}\)
Решаем неравенство \(f'(x) \geq 0\):
\(\frac{-\ln x}{2x\sqrt{x}} \geq 0\)
Знак дроби определяется числителем:
\(-\ln x \geq 0 — \ln x \leq 0\)
Берём экспоненту:
\(x \leq 1\)

Ответ:
Возрастает на \((0; 1]\),
убывает на \([1; +\infty)\),
экстремум:
\(x_{\text{max}} = 1\).