Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 422 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
1) \(f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x — 4\) на промежутке \([-2; 0]\);
2) \(f(x) = \frac{x — 1}{x + 1}\) на промежутке \([0; 4]\);
3) \(f(x) = \cos(x) — \sin(x)\) на промежутке \([0; 2\pi]\);
4) \(f(x) = \sqrt{8x — x^2}\) на её области определения;
5) \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\) на промежутке \([-2; \frac{1}{2}]\).
Найти наибольшее и наименьшее значения для заданной функции:
1) \(f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x — 4\), \([-2; 0]\);
\(f'(x) = 3 \cdot x^2 — 3 \cdot 2x — 9 = 0\);
\(3x^2 — 6x — 9 = 0\), \(x^2 — 2x — 3 = 0\);
\(D = 2^2 + 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 + 12 = 16\), тогда:
\(
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\)
Значения функции:
\(f(-2) = -8 — 12 + 22 = -6\);
\(f(-1) = -1 — 3 + 9 — 4 = 1\);
\(f(0) = 0 — 0 — 0 — 4 = -4\);
Ответ: \(-6\); \(1\).
2) \(f(x) = \frac{x — 1}{x + 1}\), \(x \in [0; 4]\);
\(
f'(x) = \frac{1 \cdot (x + 1) — (x — 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2};
\)
\((x + 1)^2 = 0\);
\(x + 1 = 0\), \(x \neq -1\).
Значения функции:
\(
f(0) = \frac{0 — 1}{0 + 1} = -1;
\)
\(
f(4) = \frac{4 — 1}{4 + 1} = \frac{3}{5};
\)
Ответ: \(-1; \frac{3}{5}\).
3) \(f(x) = \cos x — \sin x, \, x \in (0; 2\pi);\)
\(
f'(x) = -\sin x — \cos x = 0 \quad |: \tan x;
\)
\(
-\tan x — 1 = 0, \, \tan x = -1;
\)
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n;
\)
Значения функции:
\(
f(0) = \cos 0 — \sin 0 = 1 — 0 = 1;
\)
\(
f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2};
\)
\(
f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos \frac{5\pi}{4} — \sin \frac{5\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2};
\)
\(
f(2\pi) = \cos 2\pi — \sin 2\pi = 1 — 0 = 1;
\)
Ответ: \(-\sqrt{2}; \sqrt{2}\).
4) \(f(x) = \sqrt{8x — x^2}, \, D(f);\)
\(
f'(x) = \frac{8 — 2x}{2\sqrt{8x — x^2}} = 0;
\)
\(
8x — x^2 > 0;
\)
\(
2x = 8, \, x(x — 8) < 0;
\)
\(
x = 4, \, 0 < x < 8.
\)
Значения функции:
\(
f(0) = \sqrt{0 — 0} = \sqrt{0} = 0;
\)
\(
f(4) = \sqrt{32 — 16} = \sqrt{16} = 4;
\)
\(
f(8) = \sqrt{64 — 64} = \sqrt{0} = 0;
\)
Ответ: 0; 4.
5) \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}, \, x \in [-2; \frac{1}{2}]\)
\(
f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) — 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = 0;
\)
\(
2x^2 + 2 — 4x^2 = 0, \, 2x^2 — 2 = 0;
\)
\(
2x^2 = 2, \, x^2 = 1, \, x = \pm 1;
\)
Значения функции:
\(
f(-2) = \frac{-4}{4 + 1} = -\frac{4}{5};
\)
\(
f(-1) = \frac{-2}{1 + 1} = -1;
\)
\(
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{4}{5};
\)
Ответ: \(-1; \frac{4}{5}\).
1) \(f(x) = x^3 — 3x^2 — 9x — 4\), \(x \in (-2; 0)\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = 3x^2 — 6x — 9 = 0.
\)
Упростим уравнение:
\(
x^2 — 2x — 3 = 0.
\)
Рассчитаем дискриминант:
\(
D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
\)
Корни уравнения:
\(
x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3.
\)
Так как интервал задан как \((-2; 0)\), то учитываем только \(x_1 = -1\).
Вычисляем значения функции на концах интервала и в критической точке:
\(
f(-2) = (-2)^3 — 3(-2)^2 — 9(-2) — 4 = -8 — 12 + 18 — 4 = -6,
\)
\(
f(-1) = (-1)^3 — 3(-1)^2 — 9(-1) — 4 = -1 — 3 + 9 — 4 = 1,
\)
\(
f(0) = 0^3 — 3 \cdot 0^2 — 9 \cdot 0 — 4 = -4.
\)
Наибольшее значение: \(1\), наименьшее значение: \(-6\).
2) \(f(x) = \frac{x — 1}{x + 1}\), \(x \in (0; 4)\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{(x + 1) — (x — 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}.
\)
Поскольку числитель производной не равен нулю, критических точек нет. Значения функции вычисляются только на концах интервала:
\(
f(0) = \frac{0 — 1}{0 + 1} = -1,
\)
\(
f(4) = \frac{4 — 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}.
\)
Наибольшее значение: \(\frac{3}{5}\), наименьшее значение: \(-1\).
3) \(f(x) = \cos x — \sin x\), \(x \in (0; 2\pi)\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = -\sin x — \cos x = 0.
\)
Упростим уравнение:
\(
-\sin x — \cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x + \cos x = 0.
\)
Разделим обе части на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x \neq 0\)):
\(
\tan x = -1.
\)
Решение уравнения:
\(
x = -\frac{\pi}{4} + \pi n,
\)
где \(n \in \mathbb{Z}\).
Для интервала \(x \in (0; 2\pi)\) получаем два значения:
\(
x = \frac{3\pi}{4}, \quad x = \frac{7\pi}{4}.
\)
Вычисляем значения функции на концах интервала и в критических точках:
\(
f(0) = \cos 0 — \sin 0 = 1 — 0 = 1,
\)
\(
f\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos \frac{3\pi}{4} — \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2},
\)
\(
f\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \cos \frac{7\pi}{4} — \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2},
\)
\(
f(2\pi) = \cos 2\pi — \sin 2\pi = 1 — 0 = 1.
\)
Наибольшее значение: \(\sqrt{2}\), наименьшее значение: \(-\sqrt{2}\).
4) \(f(x) = \sqrt{8x — x^2}\), \(x \in (0; 8)\)
Область определения функции:
\(
8x — x^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x(8 — x) \geq 0.
\)
Отсюда \(x \in [0; 8]\).
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{8 — 2x}{2\sqrt{8x — x^2}}.
\)
Приравниваем производную к нулю:
\(
8 — 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 4.
\)
Вычисляем значения функции на концах интервала и в критической точке:
\(
f(0) = \sqrt{8 \cdot 0 — 0^2} = \sqrt{0} = 0,
\)
\(
f(4) = \sqrt{8 \cdot 4 — 4^2} = \sqrt{32 — 16} = \sqrt{16} = 4,
\)
\(
f(8) = \sqrt{8 \cdot 8 — 8^2} = \sqrt{64 — 64} = \sqrt{0} = 0.
\)
Наибольшее значение: \(4\), наименьшее значение: \(0\).
5) \(f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}\), \(x \in (-2; \frac{1}{2})\)
Находим производную функции:
\(
f'(x) = \frac{2(x^2 + 1) — 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 — 2x^2}{(x^2 + 1)^2}.
\)
Приравниваем производную к нулю:
\(
2 — 2x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.
\)
Учитываем, что \(x \in [-2; \frac{1}{2}]\), поэтому \(x = -1\).
Вычисляем значения функции на концах интервала и в критической точке:
\(
f(-2) = \frac{2 \cdot (-2)}{(-2)^2 + 1} = \frac{-4}{4 + 1} = -\frac{4}{5},
\)
\(
f(-1) = \frac{2 \cdot (-1)}{(-1)^2 + 1} = \frac{-2}{1 + 1} = -1,
\)
\(
f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1} = \frac{1}{\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}.
\)
Наибольшее значение: \(\frac{4}{5}\), наименьшее значение: \(-1\).