Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 423 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Представьте число 15 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы произведение квадрата первого из них на второе число было наибольшим.
Пусть даны числа \(x\) и \(y\): \(x + y = 15\), \(y = 15 — x\);
1) Искомое выражение: \(f(x) = x^2y = x^2(15 — x)\);
2) Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 2x(15 — x) — x^2 \geq 0; \quad f'(x) = 30x — 2x^2 — x^2 \geq 0;
\)
\(
\quad 3x(x — 10) \leq 0, \quad 0 \leq x \leq 10;
\)
3) Наибольшее значение:
\(
x = 10, \quad y = 15 — 10 = 5;
\)
Ответ: \(15 = 10 + 5\).
1) Дано уравнение связи между числами \(x\) и \(y\): \(x + y = 15\). Отсюда выражаем \(y\) через \(x\):
\(
y = 15 — x.
\)
Искомое выражение функции:
\(
f(x) = x^2y = x^2(15 — x).
\)
Раскрываем скобки:
\(
f(x) = 15x^2 — x^3.
\)
2) Найдем промежуток возрастания функции \(f(x)\). Для этого вычислим производную \(f'(x)\):
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(15x^2 — x^3) = 30x — 3x^2.
\)
Производная равна нулю в критических точках:
\(
f'(x) = 0 \quad \Rightarrow \quad 30x — 3x^2 = 0.
\)
Вынесем \(3x\) за скобки:
\(
3x(10 — x) = 0.
\)
Отсюда получаем два корня:
\(
x = 0 \quad \text{и} \quad x = 10.
\)
Знаки производной \(f'(x)\) определяются на промежутках \(x \in (0, 10)\). Рассмотрим знак производной:
— На промежутке \(x \in (0, 10)\) производная положительна (\(f'(x) > 0\)), так как \(3x(10 — x) > 0\).
— На границах промежутка (\(x = 0\) и \(x = 10\)) производная равна нулю (\(f'(x) = 0\)).
Таким образом, функция возрастает на промежутке:
\(
x \in (0, 10).
\)
3) Найдем наибольшее значение функции \(f(x)\) на промежутке \(x \in (0, 10)\).
Для этого подставим граничные значения \(x = 0\) и \(x = 10\) в функцию \(f(x)\):
— При \(x = 0\):
\(
f(0) = 0^2(15 — 0) = 0.
\)
— При \(x = 10\):
\(
f(10) = 10^2(15 — 10) = 100 \cdot 5 = 500.
\)
Наибольшее значение функции достигается при \(x = 10\), а \(y = 15 — x = 15 — 10 = 5\).
Ответ:
\(
x = 10, \quad y = 5, \quad f(x) = 500.
\)