ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 424 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

Пусть даны числа \(x\) и \(y\): \(x + y = 20\), \(y = 20 — x\);

1) Сумма кубов этих чисел:
\(
f = x^3 + y^3 = x^3 + (20 — x)^3;
\)

2) Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 3 \cdot x^2 — 3 \cdot (20 — x)^2 \geq 0;
3(20 — x)^2 \leq 3x^2,
\)
\(
\quad (20 — x)^2 \leq x^2;
20 — x \leq x, \quad 2x \geq 20, \quad x \geq 10;
\)

3) Наименьшее значение:
\(
x = 10, \quad y = 20 — 10 = 10;
\)

Ответ:
\(
20 = 10 + 10.
\)

1) Сумма кубов чисел:

Даны числа \(x\) и \(y\), такие что \(x + y = 20\), тогда \(y = 20 — x\).

Сумма кубов этих чисел \(f = x^3 + y^3\):

\(
f = x^3 + (20 — x)^3
\)

2) Промежуток возрастания функции:

Найдем производную функции \(f(x)\):

\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 + (20 — x)^3 \right)
\)

\(
f'(x) = 3 \cdot x^2 — 3 \cdot (20 — x)^2
\)

Исследуем знак производной \(f'(x)\), чтобы определить промежуток возрастания функции:

\(
f'(x) \geq 0
\)

\(
3 \cdot x^2 — 3 \cdot (20 — x)^2 \geq 0
\)

\(
3 \cdot x^2 \geq 3 \cdot (20 — x)^2
\)

\(
x^2 \geq (20 — x)^2
\)

Раскрываем скобки:

\(
x^2 \geq 400 — 40 \cdot x + x^2
\)

Убираем \(x^2\) с обеих сторон:

\(
0 \geq 400 — 40 \cdot x
\)

\(
40 \cdot x \geq 400
\)

\(
x \geq 10
\)

Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(x \geq 10\).

3) Наименьшее значение функции:

Функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(x \geq 10\), следовательно, наименьшее значение достигается при \(x = 10\).

Подставляем \(x = 10\) в выражение для \(y\):

\(
y = 20 — x
\)

\(
y = 20 — 10 = 10
\)

Теперь вычислим сумму кубов:

\(
f = x^3 + y^3
\)

\(
f = 10^3 + 10^3
\)

\(
f = 1000 + 1000 = 2000
\)

Ответ: наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(2000\), при \(x = 10\) и \(y = 10\).