Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 424 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Представьте число 20 в виде суммы двух таких неотрицательных чисел, чтобы сумма их кубов была наименьшей.
Пусть даны числа \(x\) и \(y\): \(x + y = 20\), \(y = 20 — x\);
1) Сумма кубов этих чисел:
\(
f = x^3 + y^3 = x^3 + (20 — x)^3;
\)
2) Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 3 \cdot x^2 — 3 \cdot (20 — x)^2 \geq 0;
3(20 — x)^2 \leq 3x^2,
\)
\(
\quad (20 — x)^2 \leq x^2;
20 — x \leq x, \quad 2x \geq 20, \quad x \geq 10;
\)
3) Наименьшее значение:
\(
x = 10, \quad y = 20 — 10 = 10;
\)
Ответ:
\(
20 = 10 + 10.
\)
1) Сумма кубов чисел:
Даны числа \(x\) и \(y\), такие что \(x + y = 20\), тогда \(y = 20 — x\).
Сумма кубов этих чисел \(f = x^3 + y^3\):
\(
f = x^3 + (20 — x)^3
\)
2) Промежуток возрастания функции:
Найдем производную функции \(f(x)\):
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^3 + (20 — x)^3 \right)
\)
\(
f'(x) = 3 \cdot x^2 — 3 \cdot (20 — x)^2
\)
Исследуем знак производной \(f'(x)\), чтобы определить промежуток возрастания функции:
\(
f'(x) \geq 0
\)
\(
3 \cdot x^2 — 3 \cdot (20 — x)^2 \geq 0
\)
\(
3 \cdot x^2 \geq 3 \cdot (20 — x)^2
\)
\(
x^2 \geq (20 — x)^2
\)
Раскрываем скобки:
\(
x^2 \geq 400 — 40 \cdot x + x^2
\)
Убираем \(x^2\) с обеих сторон:
\(
0 \geq 400 — 40 \cdot x
\)
\(
40 \cdot x \geq 400
\)
\(
x \geq 10
\)
Таким образом, функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(x \geq 10\).
3) Наименьшее значение функции:
Функция \(f(x)\) возрастает на промежутке \(x \geq 10\), следовательно, наименьшее значение достигается при \(x = 10\).
Подставляем \(x = 10\) в выражение для \(y\):
\(
y = 20 — x
\)
\(
y = 20 — 10 = 10
\)
Теперь вычислим сумму кубов:
\(
f = x^3 + y^3
\)
\(
f = 10^3 + 10^3
\)
\(
f = 1000 + 1000 = 2000
\)
Ответ: наименьшее значение функции \(f(x)\) равно \(2000\), при \(x = 10\) и \(y = 10\).