ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 425 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите отрицательное число, разность которого с третью его куба принимает наименьшее значение.

Пусть дано число:
\(x < 0\), \(y = x — \frac{1}{3}x^3\);

Функция возрастает:
\(y'(x) = 1 — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 \geq 0\);
\(x^2 — 1 \leq 0\);
\(-1 \leq x \leq 1\);

Ответ: \(-1\).

Рассмотрим функцию \(y = x — \frac{1}{3}x^3\), где \(x < 0\). Необходимо определить, где функция возрастает.

Для этого найдем производную функции \(y(x)\):
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}\left(x — \frac{1}{3}x^3\right)
\)
Применяя правила дифференцирования, получаем:
\(
y'(x) = 1 — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 1 — x^2
\)

Функция возрастает там, где производная \(y'(x) \geq 0\). То есть:
\(
1 — x^2 \geq 0
\)

Рассмотрим это неравенство:
\(
1 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 1
\)

Из условия \(x^2 \leq 1\) следует, что:
\(
-1 \leq x \leq 1
\)

Однако из исходного условия нам известно, что \(x < 0\). Поэтому область возрастания функции ограничивается только отрицательными значениями \(x\), то есть:
\(
-1 \leq x \leq 0
\)

Теперь проверим крайние значения. На границе интервала, при \(x = -1\), производная \(y'(x)\) обращается в ноль:
\(
y'(-1) = 1 — (-1)^2 = 1 — 1 = 0
\)

Таким образом, функция возрастает на интервале \((-1, 0]\), а значение \(x = -1\) является началом интервала возрастания.