Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 425 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите отрицательное число, разность которого с третью его куба принимает наименьшее значение.
Пусть дано число:
\(x < 0\), \(y = x — \frac{1}{3}x^3\);
Функция возрастает:
\(y'(x) = 1 — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 \geq 0\);
\(x^2 — 1 \leq 0\);
\(-1 \leq x \leq 1\);
Ответ: \(-1\).
Рассмотрим функцию \(y = x — \frac{1}{3}x^3\), где \(x < 0\). Необходимо определить, где функция возрастает.
Для этого найдем производную функции \(y(x)\):
\(
y'(x) = \frac{d}{dx}\left(x — \frac{1}{3}x^3\right)
\)
Применяя правила дифференцирования, получаем:
\(
y'(x) = 1 — \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 1 — x^2
\)
Функция возрастает там, где производная \(y'(x) \geq 0\). То есть:
\(
1 — x^2 \geq 0
\)
Рассмотрим это неравенство:
\(
1 — x^2 \geq 0 — x^2 \leq 1
\)
Из условия \(x^2 \leq 1\) следует, что:
\(
-1 \leq x \leq 1
\)
Однако из исходного условия нам известно, что \(x < 0\). Поэтому область возрастания функции ограничивается только отрицательными значениями \(x\), то есть:
\(
-1 \leq x \leq 0
\)
Теперь проверим крайние значения. На границе интервала, при \(x = -1\), производная \(y'(x)\) обращается в ноль:
\(
y'(-1) = 1 — (-1)^2 = 1 — 1 = 0
\)
Таким образом, функция возрастает на интервале \((-1, 0]\), а значение \(x = -1\) является началом интервала возрастания.