Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 426 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в окружность радиуса 25 см?
Пусть заданы числа \(x\) и \(y\), тогда: \(\sqrt{x^2 + y^2} = 50\) см, \(x > 0\), \(y > 0\);
1) Зависимость между сторонами:
\(x^2 + y^2 = 2500\), \(y = \sqrt{2500 — x^2}\);
2) Искомое выражение:
\(f(x) = xy = x\sqrt{2500 — x^2}\);
3) Функция возрастает на промежутке:
\(f'(x) = 1 \cdot \sqrt{2500 — x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{2500 — x^2}} \geq 0\);
\(
\frac{2(2500 — x^2) — 2x^2}{2\sqrt{2500 — x^2}} \geq 0,\quad 5000 — 2x^2 — 2x^2 \geq 0;
\)
\(
4x^2 — 5000 \leq 0,\quad x^2 — 1250 \leq 0,\quad |x| \leq \sqrt{1250};
\)
4) Наибольшее значение:
\(x = \sqrt{1250},\quad f(x) = 1250;\)
Ответ: \(1250\) см\(^2\).
пусть заданы числа \(x\) и \(y\), тогда: \(\sqrt{x^2 + y^2} = 50\) см, \(x > 0\), \(y > 0\)
1) зависимость между сторонами:
из условия \(\sqrt{x^2 + y^2} = 50\) следует, что \(x^2 + y^2 = 2500\). выразим \(y\) через \(x\):
\(y = \sqrt{2500 — x^2}\)
2) искомое выражение:
площадь прямоугольника, стороны которого равны \(x\) и \(y\), задается функцией \(f(x) = xy\). подставим выражение для \(y\):
\(f(x) = x \cdot \sqrt{2500 — x^2}\)
3) функция возрастает на промежутке:
найдем производную функции \(f(x)\):
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(x \cdot \sqrt{2500 — x^2})\)
используем правило произведения:
\(f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \sqrt{2500 — x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{2500 — x^2})\)
производная первой части равна \(1 \cdot \sqrt{2500 — x^2}\), производная второй части вычисляется как производная сложной функции:
\(\frac{d}{dx}(\sqrt{2500 — x^2}) = \frac{-2x}{2\sqrt{2500 — x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{2500 — x^2}}\)
тогда производная функции принимает вид:
\(f'(x) = \sqrt{2500 — x^2} — \frac{x^2}{\sqrt{2500 — x^2}}\)
приведем к общему знаменателю:
\(f'(x) = \frac{2500 — x^2 — x^2}{\sqrt{2500 — x^2}} = \frac{2500 — 2x^2}{\sqrt{2500 — x^2}}\)
найдем, где производная больше либо равна нулю:
\(\frac{2500 — 2x^2}{\sqrt{2500 — x^2}} \geq 0\)
так как знаменатель \(\sqrt{2500 — x^2}\) положителен, достаточно решить неравенство числителя:
\(2500 — 2x^2 \geq 0\)
перенесем \(2x^2\) в правую часть:
\(2500 \geq 2x^2\)
разделим обе части на 2:
\(1250 \geq x^2\)
или, что то же самое:
\(x^2 \leq 1250\)
возьмем корень из обеих частей:
\(|x| \leq \sqrt{1250}\)
учитывая, что \(x > 0\), получаем:
\(x \leq \sqrt{1250}\)
4) наибольшее значение:
функция \(f(x)\) достигает максимума при \(x = \sqrt{1250}\). подставим это значение в выражение для \(f(x)\):
\(f(x) = x \cdot \sqrt{2500 — x^2}\)
\(f(\sqrt{1250}) = \sqrt{1250} \cdot \sqrt{2500 — (\sqrt{1250})^2}\)
так как \((\sqrt{1250})^2 = 1250\), получаем:
\(f(\sqrt{1250}) = \sqrt{1250} \cdot \sqrt{2500 — 1250}\)
\(f(\sqrt{1250}) = \sqrt{1250} \cdot \sqrt{1250}\)
\(f(\sqrt{1250}) = 1250\)
ответ: \(1250\) см\(^2\)