ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 427 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте функцию и постройте её график для следующих случаев:

1. \(f(x) = x^3 — 9x\)
2. \(f(x) = x^4 — 2x^2 — 3\)
3. \(f(x) = 6x^2 — 2x^3\)
4. \(f(x) = (x^2 — 2)^2\)
5. \(f(x) = 4 + x^2 — \frac{1}{4}x^4\)
6. \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 — 4}\)
7. \(f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)
8. \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}\)

Построить график функции:
1) \(f(x) = x^3 — 9x\);

Область определения:
\(x \in \mathbb{R}, \, D(x) = (-\infty; +\infty)\);

Промежуток возрастания:
\(f'(x) = 3x^2 — 9 \geq 0;\)
\(3(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}) \geq 0;\)
\(x \leq -\sqrt{3}, \, x \geq \sqrt{3};\)

Точки экстремума:
\(x_{\text{min}} = \sqrt{3}, \, y(\sqrt{3}) = -6\sqrt{3};\)
\(x_{\text{max}} = -\sqrt{3}, \, y(-\sqrt{3}) = 6\sqrt{3};\)

Функция нечетная:
\(f(-x) = (-x)^3 — 9(-x);\)
\(f(-x) = -x^3 + 9x = -f(x);\)

Нули функции:
\(x^3 — 9x = 0;\)
\((x + 3) \cdot x \cdot (x — 3) = 0;\)
\(x_1 = -3, \, x_2 = 0, \, x_3 = 3;\)

\(y(0) = 0^3 — 9 \cdot 0 = 0;\)

Множество значений:
\(E(y) = (-\infty; +\infty);\)

График функции:

\(f(x) = x^4 — 2x^2 — 3;\)

Область определения:
\(x \in \mathbb{R}, \, D(x) = (-\infty; +\infty);\)

Промежуток возрастания:
\(f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x \geq 0;\)
\(4 \cdot x \cdot (x^2 — 1) \geq 0;\)
\((x + 1) \cdot x \cdot (x — 1) \geq 0;\)
\(-1 \leq x \leq 0, \, x \geq 1;\)

Точки экстремума:
\(x_{\text{min}} = -1, \, y(-1) = -4;\)
\(x_{\text{min}} = 1, \, y(1) = -4;\)
\(x_{\text{max}} = 0, \, y(0) = -3;\)

Функция четная:
\(f(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 — 3;\)
\(f(-x) = x^4 — 2x^2 — 3 = f(x);\)

Нули функции:
\(x^4 — 2x^2 — 3 = 0;\)
\(D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16,\) тогда:
\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]
\(x_1 \in \emptyset \, \text{и} \, x_2 = \pm \sqrt{3};\)
\(y(0) = 0 — 0 — 3 = -3;\)

Множество значений:
\(E(y) = (-4; +\infty);\)

График функции:

\(f(x) = 6x^2 — 2x^3;\)

Область определения:
\(x \in \mathbb{R}, \, D(x) = (-\infty; +\infty);\)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 6 \cdot 2x — 2 \cdot 3x^2 \geq 0;
\)
\(
6x(x — 2) \leq 0, \, 0 < x < 2.
\)

Точки экстремума:
\(x_{\text{min}} = 0, \, y(0) = 0;\)
\(x_{\text{max}} = 2, \, y(2) = 8;\)

Нули функции:
\(6x^2 — 2x^3 = 0;\)
\(2x^2(3 — x) = 0;\)
\(x_1 = 0, \, x_2 = 3;\)
\(y(0) = 6 — 0 — 2 \cdot 0 = 0;\)

Множество значений:
\(E(y) = (-\infty; +\infty);\)

График функции:

\(f(x) = (x^2 — 2)^2;\)

Область определения:
\(x \in \mathbb{R}, \, D(x) = (-\infty; +\infty);\)

Промежуток возрастания:
\(f'(x) = 2 \cdot 2x(x^2 — 2) \geq 0;\)
\((x + \sqrt{2})x(x — \sqrt{2}) = 0;\)
\(-\sqrt{2} \leq x \leq 0, \, x \geq \sqrt{2};\)

Точки экстремума:
\(x_{\text{min}} = -\sqrt{2}, \, y(-\sqrt{2}) = 0;\)
\(x_{\text{min}} = \sqrt{2}, \, y(\sqrt{2}) = 0;\)
\(x_{\text{max}} = 0, \, y(0) = 4;\)

Функция четная:
\(f(-x) = (-x)^2 — 2)^2;\)
\(f(-x) = (x^2 — 2)^2 = f(x);\)

Нули функции:
\((x^2 — 2)^2 = 0;\)
\(x^2 = 2, \, x = \pm \sqrt{2};\)
\(y(0) = (0 — 2)^2 = 4;\)

Множество значений:
\(E(y) = [0; +\infty);\)

График функции:

5) \(f(x) = 4 + x^2 — \frac{1}{x^2}\)
Область определения:
\(x \in \mathbb{R}, \, D(x) = (-\infty; +\infty);\)

Промежуток возрастания:
\(f'(x) = 2x — \frac{4}{x^3} \geq 0;\)
\((x + \sqrt{2})x(x — \sqrt{2}) = 0;\)
\(-\sqrt{2} \leq x \leq 0, \, x \geq \sqrt{2};\)

Точки экстремума:
\(x_{\text{min}} = 0, \, y(0) = 4;\)
\(x_{\text{max}} = -\sqrt{2}, \, y(-\sqrt{2}) = 5;\)
\(x_{\text{max}} = \sqrt{2}, \, y(\sqrt{2}) = 5;\)

Функция четная:
\(f(-x) = 4 + (-x)^2 — \frac{1}{(-x)^2};\)
\(f(-x) = 4 + x^2 — \frac{1}{x^2} = f(x);\)

Нули функции:
\(4 + x^2 — \frac{1}{x^2} = 0;\)
\(-4x^2 — 16 = 0;\)
\(D = 4^2 + 4 \cdot 16 = 16 + 64 = 80,\) тогда:
\(
x = \pm \frac{4 + \sqrt{80}}{2} = \pm \frac{4 + 4 \sqrt{5}}{2} = \pm (2 + 2\sqrt{5});
\)
\(y(0) = 4 + 0 = 4;\)

Множество значений:
\(E(y) = (-\infty; 5);\)

График функции:

6) \(f(x) = \frac{x^2}{x^2 — 4}\)
Область определения:
\(x^2 — 4 \neq 0, \, x^2 \neq 4, \, x \neq \pm 2;\)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = \frac{2x(x^2 — 4) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 — 4)^2} \geq 0;
\)
\(
2x^3 — 8x — 2x^3 \geq 0,\ 8x \geq 0,\ x \leq 0;
\)

Точки экстремума:
\(x_{\text{max}} = 0, \, y(0) = 0;\)

Функция четная:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2 — 4} = \frac{x^2}{x^2 — 4} = f(x);
\)

Нули функции:
\(
x^2 = 4, \, y(0) = 0;
\)

Предел функции:

\(
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 — 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 — \frac{4}{x^2}} = 1;
\)

Множество значений:

\(
E(y) = (-\infty; 0] \cup (1; +\infty);
\)

График функции:

\(f(x) = x^2 + \frac{1}{x^2}\)

Область определения:
\(
x^2 \neq 0, \ D(x) = \{ \mathbb{R} \setminus x = 0 \};
\)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = 2x — 2 \cdot \frac{1}{x^3} \geq 0;
\)
\(
f'(x) = \frac{2x^4 — 2}{x^3} \geq 0;
\)
\(
2(x^2 + 1)(x^2 — 1) \geq 0;
\)
\(
\frac{(x + 1)(x — 1)}{x} \geq 0;
\)

\(
-1 \leq x < 0, \ x \geq 1;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\text{min}} = -1, \ y(-1) = 2;
\)
\(
x_{\text{min}} = 1, \ y(1) = 2;
\)

Функция четная:
\(
f(-x) = (-x)^2 + \frac{1}{(-x)^2};
\)
\(
f(-x) = x^2 + \frac{1}{x^2} = f(x);
\)

Нули функции:
\(
x^2 + \frac{1}{x^2} = 0, \ x \in \emptyset;
\)

Предел функции:
\(
\lim_{x \to \infty} \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) = +\infty;
\)

Множество значений:
\(
E(y) = [2; +\infty);
\)

График функции:

\(f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 2}\)

Область определения:
\(x \in \mathbb{R}, \ D = (-\infty; +\infty)\)

Промежуток возрастания:
\(
f'(x) = \frac{2x(x^2 + 2) — x^2 \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2}
\)
\(
2x^3 + 4x — 2x^3 \geq 0, \ 4x \geq 0, \ x \geq 0;
\)

Точки экстремума:
\(
x_{\text{min}} = 0, \ y(0) = 0;
\)

Функция четная:
\(
f(-x) = \frac{x^2}{x^2 + 2} = f(x);
\)

Нули функции:
\(
x^2 + 2 = 0, \ x = 0;
\)
\(
y(0) = \frac{0}{0 + 2} = 0;
\)

Предел функции:
\(
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x^2 + 2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{2}{x^2}} = 1;
\)

Множество значений:
\(
0 \leq y < 1, \ E(y) = (0; 1);
\)

График функции:

1. Функция \(f(x) = x^3 — 9x\)

Область определения:
Функция \(f(x) = x^3 — 9x\) является многочленом третьей степени. Многочлены определены на всей числовой оси, поэтому:
\(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдем производную функции:

\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 — 9x) = 3x^2 — 9.
\)

Производная показывает скорость изменения функции. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\(
f'(x) = 3x^2 — 9 = 0.
\)
Решим уравнение:
\(
3x^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}.
\)
Таким образом, критические точки: \(x = -\sqrt{3}\) и \(x = \sqrt{3}\).

Теперь определим знак производной в каждом из промежутков:
\(
f'(x) = 3(x + \sqrt{3})(x — \sqrt{3}).
\)
Знаки на промежутках:
1. На интервале \(x < -\sqrt{3}\): обе скобки отрицательны, произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).
2. На интервале \(-\sqrt{3} < x < \sqrt{3}\): одна скобка положительна, другая отрицательна, произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).
3. На интервале \(x > \sqrt{3}\): обе скобки положительны, произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).

Итак, функция возрастает на промежутках:
\(
x \in (-\infty; -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}; +\infty),
\)
и убывает на промежутке:
\(
x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3}).
\)

Точки экстремума:
В критических точках проверим значение функции:
Для \(x = -\sqrt{3}\):
\(
f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^3 — 9(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}.
\)
Для \(x = \sqrt{3}\):
\(
f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^3 — 9(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} — 9\sqrt{3} = -6\sqrt{3}.
\)
Таким образом:
— Максимум: \(x = -\sqrt{3}, \, y = 6\sqrt{3}\).
— Минимум: \(x = \sqrt{3}, \, y = -6\sqrt{3}\).

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = (-x)^3 — 9(-x) = -x^3 + 9x.
\)
Сравним с \(-f(x)\):
\(
-f(x) = -(x^3 — 9x) = -x^3 + 9x.
\)
Получаем, что \(f(-x) = -f(x)\), следовательно, функция нечетная.

Нули функции:
Найдем точки пересечения графика функции с осью \(x\), приравняв \(f(x)\) к нулю:
\(
f(x) = x^3 — 9x = 0.
\)
Вынесем \(x\) за скобки:
\(
x(x^2 — 9) = 0.
\)
Распишем:
\(
x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 3.
\)
Таким образом, нули функции: \(x = -3, x = 0, x = 3\).

Множество значений:
Так как функция является кубическим многочленом, её график не имеет ограничений по значению \(y\) и простирается на всю числовую ось. Следовательно:
\(
E(y) = (-\infty; +\infty).
\)

График функции:
График функции имеет три точки пересечения с осью \(x\): \(x = -3, x = 0, x = 3\).
Функция достигает максимума в точке \(x = -\sqrt{3}\) (\(y = 6\sqrt{3}\)) и минимума в точке \(x = \sqrt{3}\) (\(y = -6\sqrt{3}\)).
На промежутках \(x \in (-\infty; -\sqrt{3})\) и \(x \in (\sqrt{3}; +\infty)\) график возрастает, а на \(x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})\) убывает.

2. Функция \(f(x) = x^4 — 2x^2 — 3\)

Область определения:
Функция \(f(x) = x^4 — 2x^2 — 3\) является многочленом четвёртой степени. Многочлены определены на всей числовой оси, поэтому:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 — 2x^2 — 3) = 4x^3 — 4x.
\)
Производная показывает скорость изменения функции. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\(
f'(x) = 4x^3 — 4x = 0.
\)
Вынесем \(4x\) за скобки:
\(
4x(x^2 — 1) = 0.
\)
Распишем:
\(
x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.
\)
Таким образом, критические точки: \(x = -1, x = 0, x = 1\).

Теперь определим знак производной в каждом из промежутков:
\(
f'(x) = 4x(x — 1)(x + 1).
\)
Знаки на промежутках:
1. На интервале \(x < -1\): все множители отрицательны, произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).
2. На интервале \(-1 < x < 0\): \(x + 1 > 0\), остальные множители отрицательны, произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).
3. На интервале \(0 < x < 1\): \(x > 0\), \(x — 1 < 0\), \(x + 1 > 0\), произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).
4. На интервале \(x > 1\): все множители положительны, произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).

Итак, функция возрастает на промежутках:
\(
x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty),
\)
и убывает на промежутках:
\(
x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1).
\)

Точки экстремума:
В критических точках проверим значение функции:
Для \(x = -1\):
\(
f(-1) = (-1)^4 — 2(-1)^2 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4.
\)
Для \(x = 0\):
\(
f(0) = (0)^4 — 2(0)^2 — 3 = -3.
\)
Для \(x = 1\):
\(
f(1) = (1)^4 — 2(1)^2 — 3 = 1 — 2 — 3 = -4.
\)
Таким образом:
— Минимумы: \(x = -1, y = -4\) и \(x = 1, y = -4\).
— Максимум: \(x = 0, y = -3\).

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 — 3 = x^4 — 2x^2 — 3.
\)
Получаем, что \(f(-x) = f(x)\), следовательно, функция четная.

Нули функции:
Найдем точки пересечения графика функции с осью \(x\), приравняв \(f(x)\) к нулю:
\(
f(x) = x^4 — 2x^2 — 3 = 0.
\)
Сделаем замену \(t = x^2\):
\(
t^2 — 2t — 3 = 0.
\)
Решим квадратное уравнение:
\(
t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
\)
Получаем:
\(
t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{2 — 4}{2} = -1.
\)
Так как \(t = x^2\), отрицательные значения не подходят (\(t_2 = -1\) исключается).
Рассмотрим \(t_1 = 3\):
\(
x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}.
\)
Таким образом, нули функции: \(x = -\sqrt{3}, x = \sqrt{3}\).

Множество значений:
Функция достигает минимального значения \(y = -4\) в точках \(x = -1\) и \(x = 1\). Максимальное значение на промежутке \([-1; 1]\) равно \(y = -3\) в точке \(x = 0\).
Так как \(x^4\) растёт быстрее, чем \(2x^2 + 3\), при больших \(|x|\) значения функции стремятся к \(+\infty\).
Следовательно:
\(
E(y) = [-4; +\infty).
\)

График функции:
График функции имеет две точки пересечения с осью \(x\): \(x = -\sqrt{3}\) и \(x = \sqrt{3}\).
Функция достигает минимума в точках \(x = -1\) и \(x = 1\) (\(y = -4\)) и максимума в точке \(x = 0\) (\(y = -3\)).
На промежутках \(x \in (-1; 0)\) и \(x \in (1; +\infty)\) график возрастает, а на \(x \in (-\infty; -1)\) и \(x \in (0; 1)\) убывает.

3. Функция \(f(x) = 6x^2 — 2x^3\)

Область определения:
Функция \(f(x) = 6x^2 — 2x^3\) является многочленом третьей степени. Многочлены определены на всей числовой оси, поэтому:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 — 2x^3) = 12x — 6x^2.
\)
Производная показывает скорость изменения функции. Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:
\(
f'(x) = 12x — 6x^2 = 0.
\)
Вынесем \(6x\) за скобки:
\(
6x(2 — x) = 0.
\)
Распишем:
\(
x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2.
\)
Таким образом, критические точки: \(x = 0\) и \(x = 2\).

Теперь определим знак производной в каждом из промежутков:
\(
f'(x) = 6x(2 — x).
\)
Знаки на промежутках:
1. На интервале \(x < 0\): \(6x < 0\), \(2 — x > 0\), произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).
2. На интервале \(0 < x < 2\): \(6x > 0\), \(2 — x > 0\), произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).
3. На интервале \(x > 2\): \(6x > 0\), \(2 — x < 0\), произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).

Итак, функция возрастает на промежутке:
\(
x \in (0; 2),
\)
и убывает на промежутках:
\(
x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty).
\)

Точки экстремума:
В критических точках проверим значение функции:
Для \(x = 0\):
\(
f(0) = 6 \cdot 0^2 — 2 \cdot 0^3 = 0.
\)
Для \(x = 2\):
\(
f(2) = 6 \cdot 2^2 — 2 \cdot 2^3 = 6 \cdot 4 — 2 \cdot 8 = 24 — 16 = 8.
\)
Таким образом:
— Минимум: \(x = 0, y = 0\).
— Максимум: \(x = 2, y = 8\).

Нули функции:
Найдем точки пересечения графика функции с осью \(x\), приравняв \(f(x)\) к нулю:
\(
f(x) = 6x^2 — 2x^3 = 0.
\)
Вынесем \(2x^2\) за скобки:
\(
2x^2(3 — x) = 0.
\)
Распишем:
\(
x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0,
\)
или
\(
3 — x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3.
\)
Таким образом, нули функции: \(x = 0\) и \(x = 3\).

Множество значений:
Функция достигает минимального значения \(y = 0\) в точке \(x = 0\) и максимального значения \(y = 8\) в точке \(x = 2\).
При больших \(|x|\) значение функции уходит на \(-\infty\), так как старший член (\(-2x^3\)) доминирует.
Следовательно:
\(
E(y) = (-\infty; 8].
\)

График функции:
График функции имеет две точки пересечения с осью \(x\): \(x = 0\) и \(x = 3\).
Функция достигает минимума в точке \(x = 0\) (\(y = 0\)) и максимума в точке \(x = 2\) (\(y = 8\)).
На промежутке \(x \in (0; 2)\) график возрастает, а на \(x \in (-\infty; 0)\) и \(x \in (2; +\infty)\) убывает.

4. Функция \(f(x) = (x^2 — 2)^2\)

Область определения:
Функция \(f(x) = (x^2 — 2)^2\) является многочленом четвёртой степени. Многочлены определены на всей числовой оси, поэтому:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}((x^2 — 2)^2) = 2(x^2 — 2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 — 2) = 2(x^2 — 2)(2x).
\)
Упростим:
\(
f'(x) = 4x(x^2 — 2).
\)
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\(
f'(x) = 4x(x^2 — 2) = 0.
\)
Распишем:
\(
x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}.
\)
Таким образом, критические точки: \(x = -\sqrt{2}, x = 0, x = \sqrt{2}\).

Теперь определим знак производной в каждом из промежутков:
\(
f'(x) = 4x(x — \sqrt{2})(x + \sqrt{2}).
\)
Знаки на промежутках:
1. На интервале \(x < -\sqrt{2}\): \(x < 0\), \(x — \sqrt{2} < 0\), \(x + \sqrt{2} < 0\), произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).
2. На интервале \(-\sqrt{2} < x < 0\): \(x < 0\), \(x — \sqrt{2} < 0\), \(x + \sqrt{2} > 0\), произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).
3. На интервале \(0 < x < \sqrt{2}\): \(x > 0\), \(x — \sqrt{2} < 0\), \(x + \sqrt{2} > 0\), произведение отрицательно (\(f'(x) < 0\)).
4. На интервале \(x > \sqrt{2}\): \(x > 0\), \(x — \sqrt{2} > 0\), \(x + \sqrt{2} > 0\), произведение положительно (\(f'(x) > 0\)).

Итак, функция возрастает на промежутках:
\(
x \in (-\sqrt{2}; 0) \cup (\sqrt{2}; +\infty),
\)
и убывает на промежутках:
\(
x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (0; \sqrt{2}).
\)

Точки экстремума:
В критических точках проверим значение функции:
Для \(x = -\sqrt{2}\):
\(
f(-\sqrt{2}) = ((-\sqrt{2})^2 — 2)^2 = (2 — 2)^2 = 0.
\)
Для \(x = 0\):
\(
f(0) = (0^2 — 2)^2 = (-2)^2 = 4.
\)
Для \(x = \sqrt{2}\):
\(
f(\sqrt{2}) = ((\sqrt{2})^2 — 2)^2 = (2 — 2)^2 = 0.
\)
Таким образом:
— Минимумы: \(x = -\sqrt{2}, y = 0\) и \(x = \sqrt{2}, y = 0\).
— Максимум: \(x = 0, y = 4\).

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = ((-x)^2 — 2)^2 = (x^2 — 2)^2.
\)
Получаем, что \(f(-x) = f(x)\), следовательно, функция четная.

Нули функции:
Найдем точки пересечения графика функции с осью \(x\), приравняв \(f(x)\) к нулю:
\(
f(x) = (x^2 — 2)^2 = 0.
\)
Распишем:
\(
x^2 — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}.
\)
Таким образом, нули функции: \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\).

Множество значений:
Функция достигает минимального значения \(y = 0\) в точках \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\). Максимальное значение на промежутке \([- \sqrt{2}; \sqrt{2}]\) равно \(y = 4\) в точке \(x = 0\).
При больших \(|x|\) значение функции растёт, так как старший член (\(x^4\)) доминирует.
Следовательно:
\(
E(y) = [0; +\infty).
\)

График функции:
График функции имеет две точки пересечения с осью \(x\): \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\).
Функция достигает минимума в точках \(x = -\sqrt{2}\) и \(x = \sqrt{2}\) (\(y = 0\)) и максимума в точке \(x = 0\) (\(y = 4\)).
На промежутках \(x \in (-\sqrt{2}; 0)\) и \(x \in (\sqrt{2}; +\infty)\) график возрастает, а на \(x \in (-\infty; -\sqrt{2})\) и \(x \in (0; \sqrt{2})\) убывает.

5. Функция \(f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}\)

Область определения:
Функция \(f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}\) является рациональной функцией. В знаменателе \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), поскольку сумма квадрата \(x^2\) и единицы всегда положительна.
Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 — 1) — (x^2 — 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2}.
\)
Найдём производные числителя и знаменателя:
\(
\frac{d}{dx}(x^2 — 1) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x.
\)
Подставим:
\(
f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(2x) — (x^2 — 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}.
\)
Упростим:
\(
f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1 — x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x \cdot 2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}.
\)

Производная равна нулю, если \(x = 0\). Это единственная критическая точка.

Теперь определим знак производной на каждом из промежутков:
1. На интервале \(x < 0\): \(f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} < 0\), так как числитель отрицателен.
2. На интервале \(x > 0\): \(f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} > 0\), так как числитель положителен.

Итак, функция возрастает на промежутке:
\(
x \in (0; +\infty),
\)
и убывает на промежутке:
\(
x \in (-\infty; 0).
\)

Точки экстремума:
В критической точке \(x = 0\) проверим значение функции:
\(
f(0) = \frac{0^2 — 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1.
\)
Таким образом, точка минимума:
\(
x = 0, \, y = -1.
\)

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = \frac{(-x)^2 — 1}{(-x)^2 + 1} = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1}.
\)
Получаем, что \(f(-x) = f(x)\), следовательно, функция четная.

Нули функции:
Найдем точки пересечения графика функции с осью \(x\), приравняв \(f(x)\) к нулю:
\(
f(x) = \frac{x^2 — 1}{x^2 + 1} = 0.
\)
Числитель равен нулю:
\(
x^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1.
\)
Таким образом, нули функции: \(x = -1\) и \(x = 1\).

Асимптоты:

Горизонтальная асимптота:
При \(x \to \pm\infty\), старшие члены числителя и знаменателя доминируют (\(x^2\)):
\(
f(x) \approx \frac{x^2}{x^2} = 1.
\)
Следовательно, горизонтальная асимптота:
\(
y = 1.
\)

Вертикальных асимптот нет:
Знаменатель \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), поэтому вертикальных асимптот нет.

Множество значений:
Функция достигает минимального значения \(y = -1\) в точке \(x = 0\). При больших \(|x|\) значение функции стремится к горизонтальной асимптоте \(y = 1\).
Следовательно:
\(
E(y) = [-1; 1).
\)

График функции:
График функции имеет две точки пересечения с осью \(x\): \(x = -1\) и \(x = 1\).
Функция достигает минимума в точке \(x = 0\) (\(y = -1\)) и имеет горизонтальную асимптоту \(y = 1\).
На промежутке \(x \in (-\infty; 0)\) график убывает, а на \(x \in (0; +\infty)\) возрастает.

6. Функция \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)

Область определения:
Функция \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) является корневой функцией. Подкоренное выражение \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).
Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.
\)

Производная равна нулю, если \(x = 0\). Это единственная критическая точка.

Теперь определим знак производной на каждом из промежутков:
1. На интервале \(x < 0\): \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} < 0\), так как числитель отрицателен.
2. На интервале \(x > 0\): \(f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} > 0\), так как числитель положителен.

Итак, функция возрастает на промежутке:
\(
x \in (0; +\infty),
\)
и убывает на промежутке:
\(
x \in (-\infty; 0).
\)

Точки экстремума:
В критической точке \(x = 0\) проверим значение функции:
\(
f(0) = \sqrt{0^2 + 1} = \sqrt{1} = 1.
\)
Таким образом, точка минимума:
\(
x = 0, \, y = 1.
\)

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = \sqrt{(-x)^2 + 1} = \sqrt{x^2 + 1}.
\)
Получаем, что \(f(-x) = f(x)\), следовательно, функция четная.

Нули функции:
Функция \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) не имеет нулей, так как \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Асимптоты:

Горизонтальная асимптота:
При \(x \to \pm\infty\), старший член подкоренного выражения (\(x^2\)) доминирует:
\(
f(x) \approx \sqrt{x^2} = |x|.
\)
Следовательно, горизонтальной асимптоты нет, так как функция растёт бесконечно.

Вертикальных асимптот нет:
Подкоренное выражение \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), поэтому вертикальных асимптот нет.

Множество значений:
Функция достигает минимального значения \(y = 1\) в точке \(x = 0\). При больших \(|x|\) значение функции стремится к бесконечности.
Следовательно:
\(
E(y) = [1; +\infty).
\)

График функции:
График функции симметричен относительно оси \(y\) (так как функция четная).
Функция имеет минимум в точке \(x = 0\) (\(y = 1\)) и возрастает на промежутке \(x \in (0; +\infty)\), а также убывает на \(x \in (-\infty; 0)\).

7. Функция \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\)

Область определения:
Функция \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) является логарифмической. Подкоренное выражение \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), так как сумма квадрата числа и единицы всегда положительна.
Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}.
\)

Производная равна нулю, если \(x = 0\). Это единственная критическая точка.

Теперь определим знак производной на каждом из промежутков:
1. На интервале \(x < 0\): \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} < 0\), так как числитель отрицателен.
2. На интервале \(x > 0\): \(f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} > 0\), так как числитель положителен.

Итак, функция возрастает на промежутке:
\(
x \in (0; +\infty),
\)
и убывает на промежутке:
\(
x \in (-\infty; 0).
\)

Точки экстремума:
В критической точке \(x = 0\) проверим значение функции:
\(
f(0) = \ln(0^2 + 1) = \ln(1) = 0.
\)
Таким образом, точка минимума:
\(
x = 0, \, y = 0.
\)

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = \ln((-x)^2 + 1) = \ln(x^2 + 1).
\)
Получаем, что \(f(-x) = f(x)\), следовательно, функция четная.

Нули функции:
Функция \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) имеет один ноль:
\(
f(0) = \ln(1) = 0.
\)
Таким образом, ноль функции: \(x = 0\).

Асимптоты:

Горизонтальная асимптота:
При \(x \to \pm\infty\), подкоренное выражение \(x^2 + 1\) растёт бесконечно, а логарифм также стремится к бесконечности:
\(
f(x) \to +\infty.
\)
Следовательно, горизонтальных асимптот нет.

Вертикальных асимптот нет:
Подкоренное выражение \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), поэтому вертикальных асимптот нет.

Множество значений:
Функция достигает минимального значения \(y = 0\) в точке \(x = 0\). При больших \(|x|\) значение функции стремится к бесконечности.
Следовательно:
\(
E(y) = [0; +\infty).
\)

График функции:
График функции симметричен относительно оси \(y\) (так как функция четная).
Функция имеет минимум в точке \(x = 0\) (\(y = 0\)) и возрастает на промежутке \(x \in (0; +\infty)\), а также убывает на \(x \in (-\infty; 0)\).

8. Функция \(f(x) = \arctan(x)\)

Область определения:
Функция \(f(x) = \arctan(x)\) определена для всех \(x \in \mathbb{R}\), так как арктангенс существует при любых значениях аргумента.
Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty).
\)

Промежуток возрастания:
Для определения промежутков возрастания и убывания, найдём производную функции:
\(
f'(x) = \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}.
\)

Производная положительна для всех \(x \in \mathbb{R}\), так как \(1 + x^2 > 0\).
Следовательно, функция возрастает на всей области определения:
\(
x \in (-\infty; +\infty).
\)

Точки экстремума:
Так как производная \(f'(x) > 0\) для всех \(x\), функция не имеет точек экстремума.

Четность функции:
Проверим четность функции:
\(
f(-x) = \arctan(-x).
\)
Свойство арктангенса: \(\arctan(-x) = -\arctan(x)\).
Получаем, что \(f(-x) = -f(x)\), следовательно, функция нечетная.

Нули функции:
Функция \(f(x) = \arctan(x)\) имеет один ноль:
\(
f(0) = \arctan(0) = 0.
\)
Таким образом, ноль функции: \(x = 0\).

Асимптоты:

Горизонтальные асимптоты:
При \(x \to +\infty\):
\(
f(x) = \arctan(x) \to \frac{\pi}{2}.
\)
При \(x \to -\infty\):
\(
f(x) = \arctan(x) \to -\frac{\pi}{2}.
\)
Таким образом, горизонтальные асимптоты:
\(
y = \frac{\pi}{2} \quad \text{и} \quad y = -\frac{\pi}{2}.
\)

Вертикальных асимптот нет:
Арктангенс определён для всех \(x \in \mathbb{R}\), поэтому вертикальных асимптот нет.

Множество значений:
Функция стремится к \(-\frac{\pi}{2}\) при \(x \to -\infty\) и к \(\frac{\pi}{2}\) при \(x \to +\infty\).
Следовательно:
\(
E(y) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right).
\)

График функции:
График функции симметричен относительно начала координат (так как функция нечетная).
Функция возрастает на всей области определения, имеет ноль в точке \(x = 0\) (\(y = 0\)) и горизонтальные асимптоты \(y = \frac{\pi}{2}\) и \(y = -\frac{\pi}{2}\).