Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 428 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите общий вид первообразных для следующих функций:
1. \[f(x) = x — \frac{2}{x^5}\] на промежутке \((- \infty; 0)\);
2. \[f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}\] на промежутке \((0; +\infty)\);
3. \[f(x) = \frac{2}{\cos^2(2x)} + \frac{3}{\sin^2(3x)}\] на промежутке \(\left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}\right)\);
4. \[f(x) = 2 + \frac{4}{x — 1}\] на промежутке \((- \infty; 1)\);
5. \[f(x) = e^{5x} — 7e^{-4x}\] на промежутке \((- \infty; +\infty)\);
6. \[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} — \cos\left(\frac{x}{4}\right)\] на промежутке \(\left(-\frac{1}{2}; +\infty\right)\).
1) \(f(x) = x — \frac{2}{x^5}, \, x \in (-\infty; 0);\)
\(
F(x) = \frac{x^2}{2} — \frac{2x^{-4}}{-4} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C;
\)
2) \(f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \, x \in (0; +\infty);\)
\(
F(x) = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + \frac{2\sqrt{x}}{2} = \sqrt{x} — \frac{1}{x^3} + C;
\)
3) \(f(x) = \frac{2}{\cos^2(2x)} + \frac{3}{\sin^2(3x)}, \, \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{3};\)
\(
F(x) = 2 \cdot \tan(2x) + 3 \cdot \left(-\cot(3x)\right) = \tan(2x) — \cot(3x) + C;
\)
4) \(f(x) = 2 + \frac{4}{x — 1}, \, x < 1;\)
\(
F(x) = 2x + 4 \ln(1 — x) + C;
\)
5) \(f(x) = e^{5x} — 7e^{-4x}, \, x \in \mathbb{R};\)
\(
F(x) = \frac{1}{5}e^{5x} — 7 \cdot \left(-\frac{1}{4}e^{-4x}\right) = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C;
\)
6) \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} — \cos\left(\frac{x}{4}\right), \, x > -\frac{1}{2};\)
\(
F(x) = 2\sqrt{2x+1} — 4 \sin\left(\frac{x}{4}\right) + C.
\)
Первообразная функции:
1) Рассмотрим функцию \(f(x) = x — \frac{2}{x^5}, \, x \in (-\infty; 0)\).
Найдем ее первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (x — \frac{2}{x^5}) dx
\)
Рассчитаем интеграл каждого слагаемого отдельно:
\(
\int x dx = \frac{x^2}{2}, \quad \int -\frac{2}{x^5} dx = -\frac{2}{4x^4} = \frac{1}{2x^4}.
\)
Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2x^4} + C.
\)
2) Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}, \, x \in (0; +\infty)\).
Найдем ее первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (\frac{3}{x^4} + \frac{1}{2\sqrt{x}}) dx
\)
Рассчитаем интеграл каждого слагаемого отдельно:
\(
\int \frac{3}{x^4} dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{x^3}, \quad \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx = \frac{2\sqrt{x}}{2} = \sqrt{x}.
\)
Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = \sqrt{x} — \frac{1}{x^3} + C.
\)
3) Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{2}{\cos^2(2x)} + \frac{3}{\sin^2(3x)}, \, \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{3}\).
Найдем ее первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (\frac{2}{\cos^2(2x)} + \frac{3}{\sin^2(3x)}) dx
\)
Рассчитаем интеграл каждого слагаемого отдельно:
\(
\int \frac{2}{\cos^2(2x)} dx = 2 \cdot \tan(2x), \quad \int \frac{3}{\sin^2(3x)} dx = 3 \cdot (-\cot(3x)).
\)
Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = \tan(2x) — \cot(3x) + C.
\)
4) Рассмотрим функцию \(f(x) = 2 + \frac{4}{x — 1}, \, x < 1\).
Найдем ее первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (2 + \frac{4}{x — 1}) dx
\)
Рассчитаем интеграл каждого слагаемого отдельно:
\(
\int 2 dx = 2x, \quad \int \frac{4}{x — 1} dx = 4 \ln(1 — x).
\)
Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = 2x + 4 \ln(1 — x) + C.
\)
5) Рассмотрим функцию \(f(x) = e^{5x} — 7e^{-4x}, \, x \in \mathbb{R}\).
Найдем ее первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (e^{5x} — 7e^{-4x}) dx
\)
Рассчитаем интеграл каждого слагаемого отдельно:
\(
\int e^{5x} dx = \frac{1}{5}e^{5x}, \quad \int -7e^{-4x} dx = -7 \cdot (-\frac{1}{4}e^{-4x}) = \frac{7}{4}e^{-4x}.
\)
Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{7}{4}e^{-4x} + C.
\)
6) Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} — \cos(\frac{x}{4}), \, x > -\frac{1}{2}\).
Найдем ее первообразную:
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (\frac{1}{\sqrt{2x+1}} — \cos(\frac{x}{4})) dx
\)
Рассчитаем интеграл каждого слагаемого отдельно:
\(
\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx = 2\sqrt{2x+1}, \quad \int -\cos(\frac{x}{4}) dx = -4 \sin(\frac{x}{4}).
\)
Таким образом, первообразная имеет вид:
\(
F(x) = 2\sqrt{2x+1} — 4 \sin(\frac{x}{4}) + C.
\)