ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 429 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Для функции \(f(x)\) найдите на указанном промежутке \(I\) первообразную \(F(x)\), график которой проходит через данную точку \(M\):

1. \(f(x) = 2x + 4, \, I = (-\infty; +\infty), \, M(2; 1)\);
2. \(f(x) = 4x^3 — 2x + 3, \, I = (-\infty; +\infty), \, M(1; 8)\);
3. \(f(x) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) — 5\sin(5x), \, I = (-\infty; +\infty), \, M(x_0; 0)\);
4. \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}}, \, I = (-\infty; \frac{1}{2}), \, M(-4; 1)\);
5. \(f(x) = 6x^2 + e^{\frac{x}{4}}, \, I = (-\infty; +\infty), \, M(2; 4\sqrt{e})\);
6. \(f(x) = (5x — 3)^4, \, I = (-\infty; +\infty), \, M(1; 1)\).

Найти первообразную с точкой:

1) \(f(x) = 2x + 4, \, I \in \mathbb{R}, \, M(2; 1)\);
\(F(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x = x^2 + 4x + C;\)
\(F(2) = 4 + 8 + C = 1, \, C = -11;\)
Ответ: \(F(x) = x^2 + 4x — 11.\)

2) \(f(x) = 4x^3 — 2x + 3, \, I = (-\infty; +\infty), \, M(1; 8)\);
\(F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot x = x^4 — x^2 + 3x + C;\)
\(F(1) = 1 — 1 + 3 + C = 8, \, 3 + C = 8, \, C = 5;\)
Ответ: \(F(x) = x^4 — x^2 + 3x + 5.\)

3) \(f(x) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) — 5 \sin(5x), \, I = (-\infty; +\infty), \, M(\pi; 0)\);
\(F(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) — 5 \cdot \frac{-\cos(5x)}{5} = \sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos(5x) + C;\)
\(F(\pi) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(5\pi) + C = 0, \, 1 — 1 + C = 0, \, C = 0;\)
Ответ: \(F(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos(5x).\)

4) \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}}, \, I (-\infty; \frac{1}{2}), \, M(-4; 1);\)
\(F(x) = 2 \cdot 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \sqrt{1 — 2x} = -2\sqrt{1 — 2x} + C;\)
\(F(-4) = -2\sqrt{1 + 8} + C = 1, \, -6 + C = 1, \, C = 7;\)
Ответ: \(F(x) = -2\sqrt{1 — 2x} + 7.\)

5) \(f(x) = 6x^2 + e^{x/4}, \, I \in \mathbb{R}, \, M(2; 4\sqrt{e});\)
\(F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot e^{x/4} = 2x^3 + 4e^{x/4} + C;\)
\(F(2) = 2 \cdot 8 + 4 \cdot e^{1/2} + C = 4 \cdot \sqrt{e};\)
\(16 + 4\sqrt{e} + C = 4\sqrt{e}, \, C = -16;\)
Ответ: \(F(x) = 2x^3 + 4e^{x/4} — 16.\)

6) \(f(x) = (5x — 3)^4, \, I \in \mathbb{R}, \, M(1; 1);\)
\(F(x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x — 3)^5}{5} = \frac{(5x — 3)^5}{25} + C;\)
\(F(1) = \frac{(5 \cdot 1 — 3)^5}{25} + C = 1, \, \frac{2^5}{25} + C = 1, \, C = -\frac{7}{25};\)
Ответ: \(F(x) = \frac{(5x — 3)^5}{25} — \frac{7}{25}.\)

1) \(f(x) = 2x + 4, \, I \in \mathbb{R}, \, M(2; 1)\)

Ищем первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (2x + 4) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x + C =
\)
\(
= x^2 + 4x + C
\)

Находим \(C\) из условия \(M(2; 1)\), то есть \(F(2) = 1\):
\(
F(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 + C = 4 + 8 + C = 1
\)
\(
C = 1 — 12 = -11
\)

Ответ:
\(
F(x) = x^2 + 4x — 11
\)

2) \(f(x) = 4x^3 — 2x + 3, \, I = (-\infty; +\infty), \, M(1; 8)\)

Ищем первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (4x^3 — 2x + 3) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} — 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C =
\)
\(
= x^4 — x^2 + 3x + C
\)

Находим \(C\) из условия \(M(1; 8)\), то есть \(F(1) = 8\):
\(
F(1) = 1^4 — 1^2 + 3 \cdot 1 + C = 1 — 1 + 3 + C = 8
\)
\(
C = 8 — 3 = 5
\)

Ответ:
\(
F(x) = x^4 — x^2 + 3x + 5
\)

3) \(f(x) = \frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) — 5 \sin(5x), \, I = (-\infty; +\infty), \, M(\pi; 0)\)

Ищем первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int \left(\frac{1}{2} \cos\left(\frac{x}{2}\right) — 5 \sin(5x)\right) dx = \frac{1}{2} \cdot 2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) — 5 \cdot \frac{-\cos(5x)}{5}
\)
\(
F(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos(5x) + C
\)

Находим \(C\) из условия \(M(\pi; 0)\), то есть \(F(\pi) = 0\):
\(
F(\pi) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(5\pi) + C = 1 — 1 + C = 0
\)
\(
C = 0
\)

Ответ:
\(
F(x) = \sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos(5x)
\)

4) \(f(x) = \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}}, \, I (-\infty; \frac{1}{2}), \, M(-4; 1)\)

Ищем первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{\sqrt{1 — 2x}} dx = 2 \cdot \int \frac{1}{\sqrt{1 — 2x}} dx = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2} \sqrt{1 — 2x}\right) + C
\)
\(
F(x) = -2\sqrt{1 — 2x} + C
\)

Находим \(C\) из условия \(M(-4; 1)\), то есть \(F(-4) = 1\):
\(
F(-4) = -2\sqrt{1 — 2 \cdot (-4)} + C = -2\sqrt{1 + 8} + C = -6 + C = 1
\)
\(
C = 7
\)

Ответ:
\(
F(x) = -2\sqrt{1 — 2x} + 7
\)

5) \(f(x) = 6x^2 + e^{x/4}, \, I \in \mathbb{R}, \, M(2; 4\sqrt{e})\)

Ищем первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int \left(6x^2 + e^{x/4}\right) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot e^{x/4} + C =
\)
\(
= 2x^3 + 4e^{x/4} + C
\)

Находим \(C\) из условия \(M(2; 4\sqrt{e})\), то есть \(F(2) = 4\sqrt{e}\):
\(
F(2) = 2 \cdot 2^3 + 4 \cdot e^{2/4} + C = 16 + 4e^{1/2} + C = 16 + 4\sqrt{e} + C = 4\sqrt{e}
\)
\(
C = -16
\)

Ответ:
\(
F(x) = 2x^3 + 4e^{x/4} — 16
\)

6) \(f(x) = (5x — 3)^4, \, I \in \mathbb{R}, \, M(1; 1)\)

Ищем первообразную \(F(x)\):
\(
F(x) = \int f(x) dx = \int (5x — 3)^4 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x — 3)^5}{5} + C = \frac{(5x — 3)^5}{25} + C
\)

Находим \(C\) из условия \(M(1; 1)\), то есть \(F(1) = 1\):
\(
F(1) = \frac{(5 \cdot 1 — 3)^5}{25} + C = \frac{2^5}{25} + C = \frac{32}{25} + C = 1
\)
\(
C = 1 — \frac{32}{25} = -\frac{7}{25}
\)

Ответ:
\(
F(x) = \frac{(5x — 3)^5}{25} — \frac{7}{25}
\)