ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 430 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Тело движется прямолинейно со скоростью, которая в любой момент времени \(t\) определяется законом \(v(t) = t^2\). Определить закон движения тела \(x(t)\), если за первые 3 секунды движения тело прошло путь \(S = 10 \, \text{м}\).

Скорость движения: \(v(t) = t^2\), \(S(3) = 10\);
Закон движения тела:
\(
s(t) = \frac{t^{2+1}}{2+1} = \frac{t^3}{3} + C;
\)
\(
s(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 + C = 10;
\)
\(
9 + C = 10, \, C = 1;
\)
Ответ:
\(
s(t) = \frac{t^3}{3} + 1.
\)

Скорость движения тела задаётся законом \(v(t) = t^2\). Известно, что за первые 3 секунды тело прошло путь \(S(3) = 10\). Требуется определить закон движения тела \(s(t)\).

Для нахождения закона движения тела воспользуемся тем, что путь \(s(t)\) является первообразной скорости \(v(t)\). Таким образом, выполняем интегрирование:

\(
s(t) = \int v(t) \, dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = \frac{t^3}{3} + C,
\)

где \(C\) — постоянная интегрирования.

Чтобы найти значение \(C\), используем условие \(S(3) = 10\), то есть путь, пройденный телом за первые 3 секунды, равен 10 м. Подставляем \(t = 3\) в выражение для \(s(t)\):

\(
s(3) = \frac{1}{3} \cdot 3^3 + C = 10.
\)

Выполним вычисления:

\(
\frac{1}{3} \cdot 3^3 = \frac{1}{3} \cdot 27 = 9.
\)

Тогда:

\(
9 + C = 10 — C = 1.
\)

Таким образом, закон движения тела имеет вид:

\(
s(t) = \frac{t^3}{3} + 1.
\)