ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 431 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Задана функция \(f(x)\), график которой проходит через точку \(A(4; 3)\). Угловой коэффициент касательной к графику этой функции в любой точке \(x\) из её области определения равен \(\frac{1}{\sqrt{x}}\). Требуется найти формулу для функции \(f(x)\).

Дана точка функции:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, \, A(4; 3). \)

Искомая функция:
\( f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} + C. \)

Подставим точку \( A(4; 3) \):
\( f(4) = 2 \cdot \sqrt{4} + C = 3. \)

Выполним вычисления:
\( 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4. \)

Тогда:
\( 4 + C = 3 — C = -1. \)

Искомая функция:
\( f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} — 1. \)

Дана точка функции:
\(
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, \, A(4; 3).
\)

Необходимо найти функцию \(f(x)\), график которой проходит через точку \(A(4; 3)\), а её производная равна \(\frac{1}{\sqrt{x}}\).

Для нахождения функции \(f(x)\) проинтегрируем её производную:
\(
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx.
\)

Выполним интегрирование:
\(
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \cdot \sqrt{x} + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, функция имеет вид:
\(
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} + C.
\)

Теперь подставим точку \(A(4; 3)\), чтобы найти значение константы \(C\).
Из условия известно, что \(f(4) = 3\). Подставим \(x = 4\) в выражение для \(f(x)\):
\(
f(4) = 2 \cdot \sqrt{4} + C = 3.
\)

Выполним вычисления:
\(
\sqrt{4} = 2, \quad 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4.
\)

Подставим результат в уравнение:
\(
4 + C = 3.
\)

Найдём значение \(C\):
\(
C = 3 — 4 = -1.
\)

Таким образом, функция имеет вид:
\(
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} — 1.
\)