Учебник «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 10 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 431 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Задана функция \(f(x)\), график которой проходит через точку \(A(4; 3)\). Угловой коэффициент касательной к графику этой функции в любой точке \(x\) из её области определения равен \(\frac{1}{\sqrt{x}}\). Требуется найти формулу для функции \(f(x)\).
Дана точка функции:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, \, A(4; 3). \)
Искомая функция:
\( f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} + C. \)
Подставим точку \( A(4; 3) \):
\( f(4) = 2 \cdot \sqrt{4} + C = 3. \)
Выполним вычисления:
\( 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4. \)
Тогда:
\( 4 + C = 3 — C = -1. \)
Искомая функция:
\( f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} — 1. \)
Дана точка функции:
\(
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}, \, A(4; 3).
\)
Необходимо найти функцию \(f(x)\), график которой проходит через точку \(A(4; 3)\), а её производная равна \(\frac{1}{\sqrt{x}}\).
Для нахождения функции \(f(x)\) проинтегрируем её производную:
\(
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} — f(x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx.
\)
Выполним интегрирование:
\(
\int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \cdot \sqrt{x} + C,
\)
где \(C\) — произвольная константа интегрирования.
Таким образом, функция имеет вид:
\(
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} + C.
\)
Теперь подставим точку \(A(4; 3)\), чтобы найти значение константы \(C\).
Из условия известно, что \(f(4) = 3\). Подставим \(x = 4\) в выражение для \(f(x)\):
\(
f(4) = 2 \cdot \sqrt{4} + C = 3.
\)
Выполним вычисления:
\(
\sqrt{4} = 2, \quad 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4.
\)
Подставим результат в уравнение:
\(
4 + C = 3.
\)
Найдём значение \(C\):
\(
C = 3 — 4 = -1.
\)
Таким образом, функция имеет вид:
\(
f(x) = 2 \cdot \sqrt{x} — 1.
\)