ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 432 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить следующие определённые интегралы:

1. \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2}\)
2. \(\int_{0}^{?} \left(6\cos(4x) — 3\sin(x)\right) dx\)
3. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\left(\sin(3x + \frac{\pi}{6})\right)^2}\)
4. \(\int_{-2}^{1} \left(x^2 — 2x + 4\right) dx\)
5. \(\int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} — x\right) dx\)
6. \(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}}\)
7. \(\int_{0}^{2} \left(3x — 2\right)^3 dx\)
8. \(\int_{2}^{4} e^{-x} dx\)
9. \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1}\)

Вычислить интеграл:

1) \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} \big|_1^3 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}\);

2) \(\int_{0}^{\pi} \left(6 \cos 4x — 3 \sin x\right) dx = \left(\frac{6}{4} \sin 4x + 3 \cos x\right) \big|_0^{\pi} = \left(\frac{3}{2} \cdot 0 + 3 \cos \pi\right) — \)
\(- \left(\frac{3}{2} \cdot 0 + 3 \cos 0\right) = -3 — 3 = -6\);

3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\frac{1}{3} \cot \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \big|_0^{\frac{\pi}{18}} = -\frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6}\right) = \)
\(= -\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} — \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{3\sqrt{3} — \sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9}\);

4) \(\int_{-2}^{1} \left(x^2 — 2x + 4\right) dx = \left(\frac{x^3}{3} — \frac{2x^2}{2} + 4x\right) \big|_{-2}^{1} = \)
\(= \left(\frac{1^3}{3} — \frac{2 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1\right) — \left(\frac{(-2)^3}{3} — \frac{2 \cdot (-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2)\right) = \)
\(= \left(\frac{1}{3} + 4 — 1\right) — \left(-\frac{8}{3} — 8 — 8\right) = \frac{1}{3} + 15 = 18\).

5) \(\int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} — x\right) dx = \left(4 \ln |x| — \frac{x^2}{2}\right) \big|_1^3 = 4 \ln 3 — \frac{9}{2} — 4 \cdot \ln 1 + \frac{1}{2} = 4 \ln 3 — 4\);

6) \(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2x + 5} \big|_{-2}^{2} = \sqrt{4 + 5} — \sqrt{-4 + 5} = \sqrt{9} — \sqrt{1} = 2\);

7) \(\int_{0}^{2} \left(3x — 2\right)^3 dx = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\left(3x — 2\right)^4}{4}\right) \big|_0^2 = \frac{\left(6 — 2\right)^4}{12} — \frac{\left(0 — 2\right)^4}{12} = \frac{256 — 16}{12} = 20\);

8) \(\int_{2}^{4} e^{-x} dx = -e^{-x} \big|_2^4 = \frac{1}{e^2} — \frac{1}{e^4} = \frac{e^2 — 1}{e^4}\);

9) \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1} = \left(\frac{1}{4} \ln |4x + 1|\right) \big|_0^5 = \frac{1}{4} \ln (20 + 1) — \frac{1}{4} \ln 1 = \frac{1}{4} \ln 21\).

1) \(\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2}\)

Примитивная функция для \(\frac{1}{x^2}\) равна \(-\frac{1}{x}\). Тогда:

\(
\int_{1}^{3} \frac{dx}{x^2} = -\frac{1}{x} \big|_1^3 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}
\)

2) \(\int_{0}^{\pi} \left(6 \cos 4x — 3 \sin x\right) dx\)

Примитивная функция для \(6 \cos 4x\) равна \(\frac{6}{4} \sin 4x = \frac{3}{2} \sin 4x\), а для \(-3 \sin x\) равна \(3 \cos x\). Тогда:

\(
\int_{0}^{\pi} \left(6 \cos 4x — 3 \sin x\right) dx = \left(\frac{3}{2} \sin 4x + 3 \cos x\right) \big|_0^{\pi}
\)

Подставляем пределы:

\(
\left(\frac{3}{2} \cdot \sin 4 \pi + 3 \cdot \cos \pi\right) — \left(\frac{3}{2} \cdot \sin 0 + 3 \cdot \cos 0\right)
\)

\(
\left(0 — 3\right) — \left(0 + 3\right) = -3 — 3 = -6
\)

3) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)}\)

Используем формулу \(\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x\). Тогда:

\(
\int_{0}^{\frac{\pi}{18}} \frac{dx}{\sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{6}\right)} = -\frac{1}{3} \cot \left(3x + \frac{\pi}{6}\right) \big|_0^{\frac{\pi}{18}}
\)

Подставляем пределы:

\(
-\frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{3} \cot \left(\frac{\pi}{6}\right)
\)

\(
-\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} + \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} — \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{3\sqrt{3} — \sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9}
\)

4) \(\int_{-2}^{1} \left(x^2 — 2x + 4\right) dx\)

Примитивная функция для \(x^2\) равна \(\frac{x^3}{3}\), для \(-2x\) равна \(-\frac{2x^2}{2}\), а для \(4\) равна \(4x\). Тогда:

\(
\int_{-2}^{1} \left(x^2 — 2x + 4\right) dx = \left(\frac{x^3}{3} — \frac{2x^2}{2} + 4x\right) \big|_{-2}^{1}
\)

Подставляем пределы:

\(
\left(\frac{1^3}{3} — \frac{2 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1\right) — \left(\frac{(-2)^3}{3} — \frac{2 \cdot (-2)^2}{2} + 4 \cdot (-2)\right)
\)

\(
\left(\frac{1}{3} — 1 + 4\right) — \left(-\frac{8}{3} — 8 — 8\right)
\)

\(
\frac{1}{3} + 15 = 18
\)

5) \(\int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} — x\right) dx\)

Примитивная функция для \(\frac{4}{x}\) равна \(4 \ln |x|\), а для \(-x\) равна \(-\frac{x^2}{2}\). Тогда:

\(
\int_{1}^{3} \left(\frac{4}{x} — x\right) dx = \left(4 \ln |x| — \frac{x^2}{2}\right) \big|_1^3
\)

Подставляем пределы:

\(
4 \ln 3 — \frac{9}{2} — 4 \ln 1 + \frac{1}{2}
\)

\(
4 \ln 3 — 4
\)

6) \(\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}}\)

Примитивная функция для \(\frac{1}{\sqrt{2x + 5}}\) равна \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2x + 5}\). Тогда:

\(
\int_{-2}^{2} \frac{dx}{\sqrt{2x + 5}} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2x + 5} \big|_{-2}^{2}
\)

Подставляем пределы:

\(
\sqrt{4 + 5} — \sqrt{-4 + 5}
\)

\(
\sqrt{9} — \sqrt{1} = 2
\)

7) \(\int_{0}^{2} \left(3x — 2\right)^3 dx\)

Примитивная функция для \((3x — 2)^3\) равна \(\frac{1}{3} \cdot \frac{(3x — 2)^4}{4}\). Тогда:

\(
\int_{0}^{2} \left(3x — 2\right)^3 dx = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{\left(3x — 2\right)^4}{4}\right) \big|_0^2
\)

Подставляем пределы:

\(
\frac{\left(6 — 2\right)^4}{12} — \frac{\left(0 — 2\right)^4}{12}
\)

\(
\frac{256 — 16}{12} = 20
\)

8) \(\int_{2}^{4} e^{-x} dx\)

Примитивная функция для \(e^{-x}\) равна \(-e^{-x}\). Тогда:

\(
\int_{2}^{4} e^{-x} dx = -e^{-x} \big|_2^4
\)

Подставляем пределы:

\(
\frac{1}{e^2} — \frac{1}{e^4}
\)

\(
\frac{e^2 — 1}{e^4}
\)

9) \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1}\)

Примитивная функция для \(\frac{1}{4x + 1}\) равна \(\frac{1}{4} \ln |4x + 1|\). Тогда:

\(
\int_{0}^{5} \frac{dx}{4x + 1} = \left(\frac{1}{4} \ln |4x + 1|\right) \big|_0^5
\)

Подставляем пределы:

\(
\frac{1}{4} \ln (20 + 1) — \frac{1}{4} \ln 1
\)

\(
\frac{1}{4} \ln 21
\)