ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 433 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

1. \( y = x^3 + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \);
2. \( y = 2 — x^2 \), \( y = 0 \);
3. \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \);
4. \( y = e^{-x} \), \( y = 1 \), \( x = -2 \);
5. \( y = -x^2 + 4 \), \( x + y = 4 \);
6. \( y = \frac{4}{x^2} \), \( y = x — 1 \), \( x = 1 \);
7. \( y = x^2 — 4x + 5 \), \( y = 5 — x \);
8. \( y = 8 — x^2 \), \( y = 4 \);
9. \( y = x^2 \), \( y = 4x — x^2 \);
10. \( y = \frac{5}{x} \), \( y = 4x + 1 \), \( x = 2 \).

Вычислить площадь фигуры:

1) \( y = x^3 + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \);
\( S = \int_0^2 (x^3 + 1) \, dx = \left( \frac{x^4}{4} + x \right)_0^2 = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) — \left( \frac{0}{4} + 0 \right) = 4 + 2 = 6; \)
Ответ: \( 6 \).

2) \( y = 2 — x^2 \), \( y = 0 \);
Точки пересечения:
\( 2 — x^2 = 0, \quad x = \pm \sqrt{2}; \)
Площадь фигуры:
\( S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 — x^2) \, dx = \left( 2x — \frac{x^3}{3} \right)_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \left( 2\sqrt{2} — \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) — \left( -2\sqrt{2} + \frac{2\sqrt{2}}{3} \right); \)
\( S = 4\sqrt{2} — \frac{4\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}; \)
Ответ: \( \frac{8\sqrt{2}}{3} \).

3) \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \);
\( S = \int_1^3 \frac{dx}{x} = \left( \ln|x| \right)_1^3 = \ln 3; \)
Ответ: \( \ln 3 \).

4) \( y = e^{-x} \), \( y = 1 \), \( x = -2 \);
Точки пересечения:
\( e^{-x} = 1, \quad x = 0; \)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^{0} (e^{-x} — 1) dx = \left[ -e^{-x} — x \right]_{-2}^{0};
\)
\(
S = (-e^0 — 0) — (-e^2 + 2) = e^2 — 3;
\)
Ответ: \( e^2 — 3 \).

5) \( y = -x^2 + 4 \), \( x + y = 4 \);
Точки пересечения:
\(
-x^2 + 4 = 4 — x;
\)
\(
x \cdot (x — 1) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^1 (-x^2 + 4 — 4 + x) dx = \int_0^1 (x — x^2) dx;
\)
\(
S = \left[ \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} — \frac{1^3}{3} \right) — \left( \frac{0^2}{2} — \frac{0^3}{3} \right);
\)
\(
S = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6};
\)
Ответ: \( \frac{1}{6} \).

6) \( y = \frac{4}{x^2} \), \( y = x — 1 \), \( x = 1 \);
Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x^2} = x — 1, \quad \frac{4}{x^2} = x^3 — x^2;
\)
\(
x^3 + x^2 + 2x — 2x^2 — 2x — 4 = 0;
\)
\(
(x — 2)(x^2 + x + 2) = 0, \quad x = 2;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^2 \left( \frac{4}{x^2} — x + 1 \right) dx = \left[ -\frac{4}{x} — \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2;
\)
\(
S = \left( -\frac{4}{2} — \frac{2^2}{2} + 2 \right) — \left( -\frac{4}{1} — \frac{1^2}{2} + 1 \right);
\)
\(
S = (-2 — 2 + 2) — (-4 — \frac{1}{2} + 1) = 1 + 0.5 = 1.5;
\)
Ответ: \( 1.5 \).
Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^{0} (e^{-x} — 1) dx = \left[ -e^{-x} — x \right]_{-2}^{0};
\)
\(
S = (-e^0 — 0) — (-e^2 + 2) = e^2 — 3;
\)
Ответ: \( e^2 — 3 \).

5) \( y = -x^2 + 4 \), \( x + y = 4 \);
Точки пересечения:
\(
-x^2 + 4 = 4 — x;
\)
\(
x \cdot (x — 1) = 0;
\)
\(
x_1 = 0, \quad x_2 = 1;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^1 (-x^2 + 4 — 4 + x) dx = \int_0^1 (x — x^2) dx;
\)
\(
S = \left[ \frac{x^2}{2} — \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} — \frac{1^3}{3} \right) — \left( \frac{0^2}{2} — \frac{0^3}{3} \right);
\)
\(
S = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6};
\)
Ответ: \( \frac{1}{6} \).

6) \( y = \frac{4}{x^2} \), \( y = x — 1 \), \( x = 1 \);
Точки пересечения:
\(
\frac{4}{x^2} = x — 1, \quad \frac{4}{x^2} = x^3 — x^2;
\)
\(
x^3 + x^2 + 2x — 2x^2 — 2x — 4 = 0;
\)
\(
(x — 2)(x^2 + x + 2) = 0, \quad x = 2;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^2 \left( \frac{4}{x^2} — x + 1 \right) dx = \left[ -\frac{4}{x} — \frac{x^2}{2} + x \right]_1^2;
\)
\(
S = \left( -\frac{4}{2} — \frac{2^2}{2} + 2 \right) — \left( -\frac{4}{1} — \frac{1^2}{2} + 1 \right);
\)
\(
S = (-2 — 2 + 2) — (-4 — \frac{1}{2} + 1) = 1 + 0.5 = 1.5;
\)
Ответ: \( 1.5 \).

7) \( y = x^2 — 4x + 5 \), \( y = 5 — x \)

Точки пересечения:

\(
x^2 — 4x + 5 = 5 — x; \quad x \cdot (x — 3) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 3
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_0^3 (x^2 — 4x + 5 — 5 + x) dx = \int_0^3 (x^2 — 3x) dx
\)

Рассчитываем интеграл:

\(
S = \Big( \frac{x^3}{3} — \frac{3x^2}{2} \Big)_0^3 = \Big( \frac{27}{3} — \frac{27}{2} \Big) — 0 = 9 — \frac{27}{2} = \frac{18}{2} — \frac{27}{2} = \frac{9}{2} = 4.5
\)

Ответ: \( 4.5 \)

8) \( y = 8 — x^2 \), \( y = 4 \)

Точки пересечения:

\(
8 — x^2 = 4; \quad x = \pm 2
\)

Площадь фигуры:

\(
S = \int_{-2}^2 (8 — x^2 — 4) dx = \int_{-2}^2 (4 — x^2) dx = \int_{-2}^2 \Big( 4x — \frac{x^3}{3} \Big) dx
\)

Рассчитываем интеграл:

\(
S = \Big( 8 — \frac{8}{3} \Big) — \Big( -8 + \frac{8}{3} \Big) = 16 — \frac{16}{3} = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
\)

Ответ: \( \frac{32}{3} \)

9) \( y = x^2 \), \( y = 4x — x^2 \)

Точки пересечения:

\(
x^2 = 4x — x^2; \quad 2x \cdot (x — 2) = 0; \quad x_1 = 0, \, x_2 = 2
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_0^2 (x^2 — 4x + x^2) dx = \int_0^2 (2x^2 — 4x) dx;
\)
\(
S = \left[ \frac{2x^3}{3} — \frac{4x^2}{2} \right]_0^2 = \left( \frac{16}{3} — 16 \right) — 0 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3};
\)
Ответ: \( \frac{8}{3} \).

10) \( y = \frac{5}{x} \), \( y = 4x + 1 \), \( x = 2 \);
Точки пересечения:
\(
\frac{5}{x} = 4x + 1, \quad 4x^2 + x — 5 = 0;
\)
\(
D = 1^2 + 4 \cdot 4 \cdot 5 = 1 + 80 = 81, \quad \text{тогда:}
\)
\(
x_1 = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-5}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = 1;
\)

Площадь фигуры:
\(
S = \int_1^2 \left( 4x + 1 — \frac{5}{x} \right) dx = \left[ \frac{4x^2}{2} + x — 5 \ln|x| \right]_1^2;
\)
\(
S = \left( \frac{16}{2} + 2 — 5 \ln 2 \right) — \left( \frac{4}{2} + 1 — 5 \ln 1 \right) = 7 — 5 \ln 2;
\)
Ответ: \( 7 — 5 \ln 2 \).

1) \( y = x^3 + 1 \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \)

Площадь фигуры между кривой \( y = x^3 + 1 \) и осью \( y = 0 \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 2 \):

\(
S = \int_0^2 (x^3 + 1) \, dx
\)

Распишем интеграл:

\(
\int_0^2 (x^3 + 1) \, dx = \int_0^2 x^3 \, dx + \int_0^2 1 \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int_0^2 x^3 \, dx = \left( \frac{x^4}{4} \right)_0^2 = \frac{2^4}{4} — \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4
\)

Второй интеграл:

\(
\int_0^2 1 \, dx = \left( x \right)_0^2 = 2 — 0 = 2
\)

Суммируем оба результата:

\(
S = 4 + 2 = 6
\)

Ответ: \( 6 \)

2) \( y = 2 — x^2 \), \( y = 0 \)

Точки пересечения кривой \( y = 2 — x^2 \) с осью \( y = 0 \):

\(
2 — x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}
\)

Площадь фигуры между кривой \( y = 2 — x^2 \) и осью \( y = 0 \) на интервале от \( x = -\sqrt{2} \) до \( x = \sqrt{2} \):

\(
S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 — x^2) \, dx
\)

Распишем интеграл:

\(
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (2 — x^2) \, dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 \, dx — \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 \, dx = 2 \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 1 \, dx = 2 \left( x \right)_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = 2 \left( \sqrt{2} — (-\sqrt{2}) \right) = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}
\)

Второй интеграл:

\(
\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^2 \, dx = \left( \frac{x^3}{3} \right)_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^3}{3} — \frac{(-\sqrt{2})^3}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3} — \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3} =
\)
\(
= \frac{4\sqrt{2}}{3}
\)

Суммируем оба результата:

\(
S = 4\sqrt{2} — \frac{4\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} — \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{12\sqrt{2}}{3} — \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{8\sqrt{2}}{3}
\)

Ответ: \( \frac{8\sqrt{2}}{3} \)

3) \( y = \frac{1}{x} \), \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = 3 \)

Площадь фигуры между кривой \( y = \frac{1}{x} \) и осью \( y = 0 \) на интервале от \( x = 1 \) до \( x = 3 \):

\(
S = \int_1^3 \frac{dx}{x}
\)

Распишем интеграл:

\(
\int_1^3 \frac{dx}{x} = \left( \ln|x| \right)_1^3 = \ln 3 — \ln 1
\)

Так как \( \ln 1 = 0 \), то:

\(
S = \ln 3
\)

Ответ: \( \ln 3 \)

4) \( y = e^{-x} \), \( y = 1 \), \( x = -2 \)

Точки пересечения кривой \( y = e^{-x} \) с прямой \( y = 1 \):

\(
e^{-x} = 1 \quad \Rightarrow \quad -x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
\)

Площадь фигуры между кривой \( y = e^{-x} \) и прямой \( y = 1 \) на интервале от \( x = -2 \) до \( x = 0 \):

\(
S = \int_{-2}^{0} (e^{-x} — 1) dx
\)

Распишем интеграл:

\(
\int_{-2}^{0} (e^{-x} — 1) dx = \int_{-2}^{0} e^{-x} \, dx — \int_{-2}^{0} 1 \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int_{-2}^{0} e^{-x} \, dx = \left( -e^{-x} \right)_{-2}^{0} = -e^0 — (-e^2) = -1 + e^2 = e^2 — 1
\)

Второй интеграл:

\(
\int_{-2}^{0} 1 \, dx = \left( x \right)_{-2}^{0} = 0 — (-2) = 2
\)

Суммируем оба результата:

\(
S = (e^2 — 1) — 2 = e^2 — 3
\)

Ответ: \( e^2 — 3 \)

5) \( y = -x^2 + 4 \), \( x + y = 4 \)

Точки пересечения кривой \( y = -x^2 + 4 \) с прямой \( x + y = 4 \):

\(
-x^2 + 4 = 4 — x \quad \Rightarrow \quad -x^2 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x — 1) = 0
\)

Отсюда \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \).

Площадь фигуры между кривой \( y = -x^2 + 4 \) и прямой \( x + y = 4 \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 1 \):

\(
S = \int_0^1 (-x^2 + 4 — (4 — x)) dx = \int_0^1 (-x^2 + 4 — 4 + x) dx = \int_0^1 (x — x^2) dx
\)

Распишем интеграл:

\(
\int_0^1 (x — x^2) dx = \int_0^1 x \, dx — \int_0^1 x^2 \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int_0^1 x \, dx = \left( \frac{x^2}{2} \right)_0^1 = \frac{1^2}{2} — \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}
\)

Второй интеграл:

\(
\int_0^1 x^2 \, dx = \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^1 = \frac{1^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
\)

Суммируем оба результата:

\(
S = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6}
\)

Ответ: \( \frac{1}{6} \)

6) \( y = \frac{4}{x^2} \), \( y = x — 1 \), \( x = 1 \)

Точки пересечения кривой \( y = \frac{4}{x^2} \) с прямой \( y = x — 1 \):

\(
\frac{4}{x^2} = x — 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{4}{x^2} = x^3 — x^2
\)

Приведем все к одной стороне:

\(
x^3 — x^2 — \frac{4}{x^2} = 0
\)

Решаем уравнение. Заметим, что \( x = 2 \) является корнем (проверка подстановкой). Таким образом, точки пересечения: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 2 \).

Площадь фигуры между кривой \( y = \frac{4}{x^2} \) и прямой \( y = x — 1 \) на интервале от \( x = 1 \) до \( x = 2 \):

\(
S = \int_1^2 \left( \frac{4}{x^2} — (x — 1) \right) dx = \int_1^2 \frac{4}{x^2} \, dx — \int_1^2 x \, dx + \int_1^2 1 \, dx
\)

Распишем интегралы:

Первый интеграл:

\(
\int_1^2 \frac{4}{x^2} \, dx = 4 \int_1^2 \frac{1}{x^2} \, dx = 4 \left( -\frac{1}{x} \right)_1^2 = 4 \left( -\frac{1}{2} — (-1) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) =
\)
\(
= 4 \cdot \frac{1}{2} = 2
\)

Второй интеграл:

\(
\int_1^2 x \, dx = \left( \frac{x^2}{2} \right)_1^2 = \frac{2^2}{2} — \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} — \frac{1}{2} = 2 — \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\)

Третий интеграл:

\(
\int_1^2 1 \, dx = \left( x \right)_1^2 = 2 — 1 = 1
\)

Суммируем результаты:

\(
S = 2 — \frac{3}{2} + 1 = 2 + 1 — \frac{3}{2} = 3 — \frac{3}{2} = \frac{6}{2} — \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
\)

Ответ: \( \frac{3}{2} \)

7) Точки пересечения кривых \( y = x^2 — 4x + 5 \) и \( y = 5 — x \):

\(
x^2 — 4x + 5 = 5 — x
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
x^2 — 4x + 5 — 5 + x = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 — 3x = 0
\)

Разложим на множители:

\(
x(x — 3) = 0
\)

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 3 \). Таким образом, точки пересечения: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Площадь фигуры между кривыми \( y = x^2 — 4x + 5 \) и \( y = 5 — x \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 3 \):

\(
S = \int_0^3 \left( (x^2 — 4x + 5) — (5 — x) \right) dx
\)

Упростим выражение внутри интеграла:

\(
x^2 — 4x + 5 — (5 — x) = x^2 — 4x + 5 — 5 + x = x^2 — 3x
\)

Таким образом, площадь:

\(
S = \int_0^3 (x^2 — 3x) dx
\)

Распишем интеграл:

\(
S = \int_0^3 x^2 \, dx — \int_0^3 3x \, dx
\)

Первый интеграл:

\(
\int_0^3 x^2 \, dx = \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^3 = \frac{3^3}{3} — \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} — 0 = 9
\)

Второй интеграл:

\(
\int_0^3 3x \, dx = 3 \int_0^3 x \, dx = 3 \left( \frac{x^2}{2} \right)_0^3 = 3 \left( \frac{3^2}{2} — \frac{0^2}{2} \right) = 3 \left( \frac{9}{2} — 0 \right) = 3 \cdot \frac{9}{2} = \frac{27}{2}
\)

Суммируем результаты:

\(
S = 9 — \frac{27}{2}
\)

Приведем к общему знаменателю:

\(
S = \frac{18}{2} — \frac{27}{2} = \frac{-9}{2}
\)

Площадь всегда положительна, поэтому берем модуль:

\(
S = \frac{9}{2} = 4.5
\)

Ответ: \( 4.5 \)

8) \( y = 8 — x^2 \), \( y = 4 \)

Точки пересечения находятся из уравнения:

\(
8 — x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2
\)

Таким образом, точки пересечения: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Площадь фигуры между кривыми \( y = 8 — x^2 \) и \( y = 4 \) на интервале от \( x = -2 \) до \( x = 2 \):

\(
S = \int_{-2}^2 \left( (8 — x^2) — 4 \right) dx = \int_{-2}^2 (4 — x^2) dx
\)

Упростим и распишем интеграл:

\(
S = \int_{-2}^2 4 dx — \int_{-2}^2 x^2 dx
\)

Рассчитаем каждый из интегралов отдельно.

Первый интеграл:

\(
\int_{-2}^2 4 dx = \left( 4x \right)_{-2}^2 = 4 \cdot 2 — 4 \cdot (-2) = 8 + 8 = 16
\)

Второй интеграл:

\(
\int_{-2}^2 x^2 dx = \left( \frac{x^3}{3} \right)_{-2}^2 = \frac{2^3}{3} — \frac{(-2)^3}{3} = \frac{8}{3} — \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}
\)

Теперь вычислим общую площадь:

\(
S = 16 — \frac{16}{3} = \frac{48}{3} — \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
\)

Ответ: \( \frac{32}{3} \)

9) \( y = x^2 \), \( y = 4x — x^2 \)

Точки пересечения находятся из уравнения:

\(
x^2 = 4x — x^2 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 — 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad 2x(x — 2) = 0
\)

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

Площадь фигуры между кривыми \( y = x^2 \) и \( y = 4x — x^2 \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 2 \):

\(
S = \int_0^2 \left( (4x — x^2) — x^2 \right) dx = \int_0^2 (4x — 2x^2) dx
\)

Упростим и распишем интеграл:

\(
S = \int_0^2 4x dx — \int_0^2 2x^2 dx
\)

Рассчитаем каждый из интегралов отдельно.

Первый интеграл:

\(
\int_0^2 4x dx = 4 \int_0^2 x dx = 4 \left( \frac{x^2}{2} \right)_0^2 = 4 \left( \frac{2^2}{2} — \frac{0^2}{2} \right) = 4 \cdot \frac{4}{2} = 4 \cdot 2 = 8
\)

Второй интеграл:

\(
\int_0^2 2x^2 dx = 2 \int_0^2 x^2 dx = 2 \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^2 = 2 \left( \frac{2^3}{3} — \frac{0^3}{3} \right) = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}
\)

Теперь вычислим общую площадь:

\(
S = 8 — \frac{16}{3} = \frac{24}{3} — \frac{16}{3} = \frac{8}{3}
\)

Ответ: \( \frac{8}{3} \)

10) \( y = \frac{5}{x} \), \( y = 4x + 1 \), \( x = 2 \)

Точки пересечения находятся из уравнения:

\(
\frac{5}{x} = 4x + 1
\)

Умножим обе стороны на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\(
5 = 4x^2 + x
\)

Переносим всё в одну сторону:

\(
4x^2 + x — 5 = 0
\)

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\(
D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81
\)

Корни уравнения:

\(
x_1 = \frac{-1 — \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 — 9}{8} = \frac{-10}{8} = -\frac{5}{4}, \quad x_2 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1
\)

Таким образом, точки пересечения: \( x_1 = -\frac{5}{4} \), \( x_2 = 1 \).

Площадь фигуры между кривыми \( y = \frac{5}{x} \) и \( y = 4x + 1 \) на интервале от \( x = 1 \) до \( x = 2 \):

\(
S = \int_1^2 \left( (4x + 1) — \frac{5}{x} \right) dx
\)

Упростим и распишем интеграл:

\(
S = \int_1^2 4x dx + \int_1^2 1 dx — \int_1^2 \frac{5}{x} dx
\)

Рассчитаем каждый из интегралов отдельно.

Первый интеграл:

\(
\int_1^2 4x dx = 4 \int_1^2 x dx = 4 \left( \frac{x^2}{2} \right)_1^2 = 4 \left( \frac{2^2}{2} — \frac{1^2}{2} \right) = 4 \left( \frac{4}{2} — \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6
\)

Второй интеграл:

\(
\int_1^2 1 dx = \left( x \right)_1^2 = 2 — 1 = 1
\)

Третий интеграл:

\(
\int_1^2 \frac{5}{x} dx = 5 \int_1^2 \frac{1}{x} dx = 5 \left( \ln|x| \right)_1^2 = 5 (\ln 2 — \ln 1) = 5 \ln 2
\)

Теперь вычислим общую площадь:

\(
S = 6 + 1 — 5 \ln 2 = 7 — 5 \ln 2
\)

Ответ: \( 7 — 5 \ln 2 \)