ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 434 Базовый Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Вычислить интеграл:

\(
\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx
\)

2) Вычислить интеграл:

\(
\int_{-1}^{1} (1 — |x|) \, dx
\)

Вычислить интеграл:

1)
\(
\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx
\)

Дан полукруг:
\(
12 — x^2 \geq 0, \quad x^2 \leq 12; \quad |x| \leq 2\sqrt{3}, \quad y(0) = 2\sqrt{3};
\)
\(
x_0 = y_0 = 0, \quad R = 2\sqrt{3};
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \frac{1}{2} \pi R^2 = 6\pi;
\)
Ответ: \( 6\pi \).

2)
\(
\int_{-1}^{1} (1 — |x|) \, dx
\)

Дан треугольник:
\(
1 — |x| \geq 0, \quad |x| \leq 1; \quad -1 \leq x \leq 1, \quad y(0) = 1;
\)
\(
a = 1 + 1 = 2, \quad h = 1;
\)
Площадь фигуры:
\(
S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1;
\)
Ответ: \( 1 \).

Вычислить интеграл:

1)
\(
\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx
\)

Рассмотрим геометрический смысл данного интеграла. Подынтегральная функция \(\sqrt{12 — x^2}\) описывает верхнюю часть окружности с центром в точке \((0, 0)\) и радиусом \(R = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\). Ограничение интеграла от \(-2\sqrt{3}\) до \(2\sqrt{3}\) соответствует полной длине хорды, проходящей через диаметр окружности. Таким образом, вычисление данного интеграла сводится к нахождению площади верхней половины круга.

Уравнение полного круга:
\(
x^2 + y^2 = 12
\)
Выражение для \(y\) (верхняя полукруглая часть):
\(
y = \sqrt{12 — x^2}
\)

Площадь полного круга:
\(
S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi (2\sqrt{3})^2 = 12\pi
\)

Площадь верхней половины круга:
\(
S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \cdot 12\pi = 6\pi
\)

Следовательно, значение интеграла:
\(
\int_{-2\sqrt{3}}^{2\sqrt{3}} \sqrt{12 — x^2} \, dx = 6\pi
\)

Ответ: \(6\pi\).

2)
\(
\int_{-1}^{1} (1 — |x|) \, dx
\)

Рассмотрим геометрический смысл данного интеграла. Подынтегральная функция \((1 — |x|)\) описывает равнобедренный треугольник с основанием на отрезке \((-1, 1)\) и высотой, равной \(1\), в точке \(x = 0\). Вычисление интеграла сводится к нахождению площади этого треугольника.

Границы функции:
\(
1 — |x| \geq 0, \quad |x| \leq 1
\)
Это соответствует области \(-1 \leq x \leq 1\), где функция принимает ненулевые значения.

Основание треугольника:
\(
a = 1 + 1 = 2
\)

Высота треугольника:
\(
h = 1
\)

Площадь треугольника:
\(
S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1
\)

Следовательно, значение интеграла:
\(
\int_{-1}^{1} (1 — |x|) \, dx = 1
\)

Ответ: \(1\).