ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 14.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Изобразите на комплексной плоскости все числа z, удовлетворяющие условию:

1) \(\text{Re}\left(\frac{1}{z}\right) — \text{Im}(z) = \frac{1}{4}\);

2) \((1 — i)\overline{z} = (1 + i)z\).

1) \(\text{Re} \frac{1}{z} — \text{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{4};\)

\(
\frac{1}{z} = \frac{1}{x + yi} = \frac{x — yi}{x^2 + y^2};
\)

\(
\frac{x}{x^2 + y^2} — \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{4};
\)

\(
\frac{x}{x^2 + y^2} + \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{4};
\)

\(
4x + 4y = x^2 + y^2, \quad x \neq 0, \quad y \neq 0;
\)

\(
x^2 — 4x + 4 + y^2 — 4y + 4 = 8;
\)

\(
(x — 2)^2 + (y — 2)^2 = 8;
\)

2) \((1 — i)\overline{z} = (1 + i) z;\)

\(z = x + yi,\quad \overline{z} = x — yi;\)

\((1 — i)(x — yi) = (1 + i)(x + yi);\)

\(x — yi — xi — y = x + yi + xi — y;\)

\(-2xi = 2yi,\quad y = -x;\)

1) Условие:

\(
\text{Re} \frac{1}{z} — \text{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{4}
\)

Пусть \(z = x + yi\), где \(x, y \in \mathbb{R}\), и \(z \neq 0\).

Тогда

\(
\frac{1}{z} = \frac{1}{x + yi} = \frac{x — yi}{(x + yi)(x — yi)} = \frac{x — yi}{x^2 + y^2}.
\)

Вычислим действительную и мнимую части \(\frac{1}{z}\):

\(
\text{Re} \frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2},
\quad
\text{Im} \frac{1}{z} = \frac{-y}{x^2 + y^2}.
\)

Подставим в исходное равенство:

\(
\text{Re} \frac{1}{z} — \text{Im} \frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2} — \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}\right) = \frac{x}{x^2 + y^2} + \frac{y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{4}.
\)

Объединим дроби:

\(
\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{4}.
\)

Домножим обе части на \(4(x^2 + y^2)\):

\(
4(x + y) = x^2 + y^2.
\)

Перенесём всё в одну сторону:

\(
x^2 + y^2 — 4x — 4y = 0.
\)

Для удобства дополним до квадратов:

\(
x^2 — 4x + y^2 — 4y = 0.
\)

Добавим и вычтем по 4 с каждой переменной, чтобы получить полные квадраты:

\(
(x^2 — 4x + 4) + (y^2 — 4y + 4) = 0 + 4 + 4,
\)

то есть

\(
(x — 2)^2 + (y — 2)^2 = 8.
\)

Это уравнение окружности с центром в точке \((2, 2)\) и радиусом \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).

2) Условие:

\(
(1 — i)\overline{z} = (1 + i)z,
\)

где \(z = x + yi\), \(\overline{z} = x — yi\).

Подставим:

\(
(1 — i)(x — yi) = (1 + i)(x + yi).
\)

Раскроем скобки слева:

\(
(1)(x — yi) — i(x — yi) = x — yi — xi + yi^2.
\)

Так как \(i^2 = -1\), то \(yi^2 = y(-1) = -y\), поэтому:

\(
x — yi — xi — y.
\)

Раскроем скобки справа:

\(
(1)(x + yi) + i(x + yi) = x + yi + xi + yi^2 = x + yi + xi — y.
\)

Приравниваем левую и правую части:

\(
x — yi — xi — y = x + yi + xi — y.
\)

Переносим все члены в одну сторону:

\(
x — yi — xi — y — x — yi — xi + y = 0.
\)

Упростим:

\(
(x — x) + (-yi — yi) + (-xi — xi) + (-y + y) = 0,
\)

то есть

\(
-2yi — 2xi = 0.
\)

Вынесем \(-2i\):

\(
-2i(y + x) = 0.
\)

Так как множитель \(-2i \neq 0\), то

\(
y + x = 0,
\)

или

\(
y = -x.
\)

Это уравнение прямой, проходящей через начало координат с углом наклона \(-1\).