ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:

1. Наибольшее значение функции \(y = 0.2^x\) на промежутке \([-1; 2]\) равно \(5\).
2. Область определения функции \(y = 4 — 7^x\) является множеством действительных чисел.
3. Область значений функции \(y = 6^x + 5\) является промежутком \([5; +\infty)\).
4. Наименьшее значение функции \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^x\) на промежутке \([-2; 2]\) равно \(16\).

1) \(y = 0,2^x\), \(y_{\text{наиб}} = 5\) на \([-1; 2]\);
Функция убывает:
\(
y_{\text{наиб}} = y(-1) = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5;
\)
Ответ: да.

2) \(y = 4 — 7^x\), \(D(x) = \mathbb{R}\);
Ответ: да.

3) \(y = 6^x + 5\), \(E(y) = [5; +\infty)\);
Функция возрастает:
\(
6^x > 0, \quad 6^x + 5 > 5;
\)
Ответ: нет.

4) \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^x\), \(y_{\text{наим}} = 16\) на \([-2; 2]\);
Функция убывает:
\(
y_{\text{наим}} = y(2) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16};
\)
Ответ: нет.

Даны утверждения, требуется проверить их истинность.

1) \(y = 0,2^x\), \(y_{\text{наиб}} = 5\) на \([-1; 2]\).
Функция \(y = 0,2^x\) является убывающей, так как основание \(0,2 < 1\). Наибольшее значение функции достигается в точке \(x = -1\), так как значение функции возрастает при движении влево.
Вычислим:
\(
y_{\text{наиб}} = y(-1) = \left(0,2\right)^{-1} = \frac{1}{0,2} = 5.
\)
Таким образом, утверждение верно.
Ответ: да.

2) \(y = 4 — 7^x\), \(D(x) = \mathbb{R}\).
Функция \(y = 4 — 7^x\) определена для всех \(x \in \mathbb{R}\), так как основание \(7 > 0\) и степень \(x\) может принимать любые действительные значения.
Таким образом, область определения функции совпадает с множеством действительных чисел.
Ответ: да.

3) \(y = 6^x + 5\), \(E(y) = [5; +\infty)\).
Функция \(y = 6^x + 5\) возрастает, так как основание \(6 > 1\), а показатель \(x\) увеличивается. Значение функции всегда больше \(5\), так как \(6^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\):
\(
y = 6^x + 5 > 5.
\)
Однако область значений функции не включает значение \(5\), так как \(6^x > 0\) строго. Следовательно, область значений функции равна \((5; +\infty)\), а не \([5; +\infty)\).
Ответ: нет.

4) \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^x\), \(y_{\text{наим}} = 16\) на \([-2; 2]\).
Функция \(y = \left(\frac{1}{4}\right)^x\) является убывающей, так как основание \(\frac{1}{4} < 1\). Наименьшее значение функции достигается в точке \(x = 2\), так как значение функции уменьшается при движении вправо.
Вычислим:
\(
y_{\text{наим}} = y(2) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}.
\)
Таким образом, утверждение неверно, так как наименьшее значение функции равно \(\frac{1}{16}\), а не \(16\).
Ответ: нет.