ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функций:

1) \(y = -9^x\)
2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 1\)
3) \(y = 7^x — 4\)
4) \(y = 6^{|x|}\)

Найти область значений функции:
1) \(y = -9^x\);
\(9^x > 0\), \(-9^x < 0\);
Ответ: \(E(y) = (-\infty; 0)\).

2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 1\);
\(\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0\), \(\left(\frac{1}{5}\right)^x + 1 > 1\);
Ответ: \(E(y) = (1; +\infty)\).

3) \(y = 7^x — 4\);
\(7^x > 0\), \(7^x — 4 > -4\);
Ответ: \(E(y) = (-4; +\infty)\).

4) \(y = 6^{|x|}\);
\(|x| \geq 0\), \(6^{|x|} \geq 1\);
Ответ: \(E(y) = [1; +\infty)\).

Найти область значений функции:

1) \(y = -9^x\):
Поскольку \(9^x > 0\) для любых значений \(x\), то выражение \(-9^x\) всегда меньше нуля, так как отрицательное число умножается на положительное. Следовательно, область значений функции:
\(E(y) = (-\infty; 0)\).

2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^x + 1\):
Основание степени \(\frac{1}{5}\) положительное и меньше единицы, поэтому \(\left(\frac{1}{5}\right)^x > 0\) для любых значений \(x\). При добавлении единицы к положительному числу \(\left(\frac{1}{5}\right)^x\), значение функции становится больше единицы:
\(\left(\frac{1}{5}\right)^x + 1 > 1.\)
Следовательно, область значений функции:
\(E(y) = (1; +\infty).\)

3) \(y = 7^x — 4\):
Поскольку \(7^x > 0\) для любых значений \(x\), то выражение \(7^x — 4\) всегда больше \(-4\), так как от положительного числа \(7^x\) вычитается 4. Таким образом:
\(7^x — 4 > -4.\)
Следовательно, область значений функции:
\(E(y) = (-4; +\infty).\)

4) \(y = 6^{|x|}\):
Поскольку модуль числа \(|x|\) всегда неотрицателен (\(|x| \geq 0\)), то значение \(6^{|x|}\) всегда больше или равно единице, так как степень с положительным основанием \(6\) при \(x = 0\) равна \(6^0 = 1\), а при \(|x| > 0\) возрастает. Таким образом:
\(6^{|x|} \geq 1.\)
Следовательно, область значений функции:
\(E(y) = [1; +\infty).\)