ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение функции \( y = \left( \frac{1}{6} \right)^x \) на промежутке \( [-2; 3] \).

Найти наибольшее значение функции:
y = \(\left(\frac{1}{6}\right)^x\) на отрезке \([-2; 3]\);
1) Функция убывает:
\(1 > 0 \Rightarrow 1\);
2) Наибольшее значение:
\(y_{\text{наиб}} = y(-2) = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2} = 6^2 = 36\);

Ответ: 36.

Для нахождения наибольшего значения функции \(y = \left(\frac{1}{6}\right)^x\) на отрезке \([-2; 3]\), рассмотрим несколько шагов.

1. Анализ функции:
Функция \(y = \left(\frac{1}{6}\right)^x\) является экспоненциальной функцией с основанием \(\frac{1}{6}\), которое меньше \(1\). Это означает, что функция убывает. В общем случае, если основание экспоненты меньше \(1\), то при увеличении значения \(x\) значение функции будет уменьшаться. Таким образом, функция убывает на всей своей области определения.

2. Определение наибольшего значения:
Поскольку функция убывает, наибольшее значение будет достигнуто на левом конце отрезка, то есть при \(x = -2\).

3. Вычисление значения функции:
Теперь вычислим значение функции в точке \(x = -2\):
\(
y_{\text{наиб}} = y(-2) = \left(\frac{1}{6}\right)^{-2}
\)
Используя свойства степени, мы можем переписать это выражение:
\(
y(-2) = \left(\frac{6}{1}\right)^{2} = 6^2 = 36
\)

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке \([-2; 3]\) равно \(36\).

Ответ: \(36\).