ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \(\frac{5^{(\sqrt{3}-1)^2}}{\left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}}}\)

2) \(\left(\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}}\)

3) \(\left(\left(10^{\frac{1}{5}}\right)^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}}\)

Найти значение выражения:

1) \( 5^{(\sqrt{3}-1)^2} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{(3-2\sqrt{3}+1)-(-2\sqrt{3})} = 5^4 = 625 \)
Ответ: 625.

2) \( \left(\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} = \left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{36}} = \left(\sqrt{2}\right)^6 = 2^3 = 8 \)
Ответ: 8.

3) \( \left(\left(\sqrt[5]{10}\right)^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}} = \left(\sqrt{10}\right)^{-2\cdot5} = 10^{-2} = 0,01 \)
Ответ: 0,01.

Найти значение выражения:

1) \( 5^{(\sqrt{3}-1)^2} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} \)

Сначала упростим выражение. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:
\( a^m : a^n = a^{m-n} \)
Получаем:
\( 5^{(\sqrt{3}-1)^2} : \left(\frac{1}{5}\right)^{2\sqrt{3}} = 5^{(\sqrt{3}-1)^2 — (-2\sqrt{3})} \)

Вычислим степень:
\( (\sqrt{3}-1)^2 = (\sqrt{3})^2 — 2\sqrt{3} + 1 = 3 — 2\sqrt{3} + 1 = 4 — 2\sqrt{3} \)
Подставляем:
\( 5^{(\sqrt{3}-1)^2 — (-2\sqrt{3})} = 5^{(4 — 2\sqrt{3}) — (-2\sqrt{3})} = 5^{4} \)
Теперь вычисляем:
\( 5^4 = 625 \)
Ответ: 625.

2) \( \left(\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} \)

Используем правило возведения степени в степень:
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Получаем:
\( \left(\left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} = \left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} \)
Вычисляем произведение степеней:
\( \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{36} = 6 \)
Подставляем:
\( \left(\sqrt{2}\right)^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \left(\sqrt{2}\right)^6 \)
Теперь заметим, что \((\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^{6/2} = 2^3\).
Вычисляем:
\( 2^3 = 8 \)
Ответ: 8.

3) \( \left(\left(\sqrt[5]{10}\right)^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}} \)

Используем правило возведения степени в степень:
\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
Получаем:
\( \left(\left(\sqrt[5]{10}\right)^{\sqrt{5}}\right)^{-2\sqrt{5}} = \left(\sqrt[5]{10}\right)^{\sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5})} \)
Вычисляем произведение степеней:
\( \sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5}) = -2 \cdot 5 = -10 \)
Подставляем:
\( \left(\sqrt[5]{10}\right)^{\sqrt{5} \cdot (-2\sqrt{5})} = \left(\sqrt[5]{10}\right)^{-10} \)
Теперь заметим, что \((\sqrt[5]{10})^{-10} = (10^{1/5})^{-10} = 10^{(-10)/5} = 10^{-2}\).
Вычисляем:
\( 10^{-2} = 0,01 \)
Ответ: 0,01.