ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите промежуток } [a, b], \text{ на котором наибольшее значение функции }
\)
\(
y = 2^x \text{ равно } 16, \text{ а наименьшее значение равно } \frac{1}{4}.
\)

Дана показательная функция:
\(
y = 2^x;
\)
1) Наибольшее значение:
\(
y = 2^x = 16; \quad 2^x = 2^4;
\)
\(x = 4;\)
2) Наименьшее значение:
\(
y = 2^x = \frac{1}{4};
\)
\(x = -2;\)
Ответ:
\(
[-2; 4].
\)

Дана показательная функция:
\(
y = 2^x;
\)

1) Наибольшее значение:
Нам необходимо определить, при каком значении \(x\) функция \(y = 2^x\) принимает наибольшее значение, равное \(16\).

Запишем уравнение:
\(
y = 2^x = 16.
\)
Представим \(16\) как степень числа \(2\):
\(
16 = 2^4.
\)
Таким образом, из равенства степеней следует:
\(
x = 4.
\)

Следовательно, наибольшее значение функции \(y = 2^x\) равно \(16\), если \(x = 4\).

2) Наименьшее значение:
Нам необходимо определить, при каком значении \(x\) функция \(y = 2^x\) принимает наименьшее значение, равное \(\frac{1}{4}\).

Запишем уравнение:
\(
y = 2^x = \frac{1}{4}.
\)
Представим \(\frac{1}{4}\) как степень числа \(2\):
\(
\frac{1}{4} = 2^{-2}.
\)
Таким образом, из равенства степеней следует:
\(
x = -2.
\)

Следовательно, наименьшее значение функции \(y = 2^x\) равно \(\frac{1}{4}\), если \(x = -2\).

Ответ:
На промежутке \([-2; 4]\) функция \(y = 2^x\) принимает наименьшее значение \(\frac{1}{4}\) при \(x = -2\), а наибольшее значение \(16\) при \(x = 4\).

Итоговый ответ:
\(
[-2; 4].
\)