ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Определите графически количество корней уравнения:}
\)
1) \( 2^x = x \)
2) \( 2^x = x^2 \)
3) \( 2^x = \sin(x) \)
4) \( 2^{-x} = 2 — x^2 \)

Определить графически количество
корней для данного уравнения:

1) \(2^x = x\);

Ответ: корней нет.

2) \(2^x = x^2\);

Ответ: 3 корня.

3) \(2^x = \sin x\);

Ответ: бесконечно много корней.

4) \(2^{-x} = 2 — x^2\);

Ответ: 2 корня.

1) \(2^x = x\)

график функции \(y = 2^x\) представляет собой экспоненциальную кривую, которая возрастает для положительных значений \(x\) и стремится к нулю для отрицательных значений \(x\). график функции \(y = x\) является прямой, проходящей через начало координат с угловым коэффициентом 1. при анализе графиков видно, что эти две функции не пересекаются. следовательно, уравнение \(2^x = x\) не имеет корней.

ответ: корней нет.

2) \(2^x = x^2\)

график функции \(y = 2^x\) представляет собой экспоненциальную кривую, как и ранее. график функции \(y = x^2\) является параболой, вершина которой находится в начале координат, и ветви направлены вверх. при анализе графиков видно, что экспоненциальная кривая пересекает параболу в трех точках. следовательно, уравнение \(2^x = x^2\) имеет три корня.

ответ: 3 корня.

3) \(2^x = \sin(x)\)

график функции \(y = 2^x\) — экспоненциальная кривая, как и в предыдущих случаях. график функции \(y = \sin(x)\) представляет собой синусоиду, которая периодически колеблется между значениями \(-1\) и \(1\). поскольку синусоида бесконечно повторяется, она пересекает экспоненциальную кривую бесконечное количество раз (в области отрицательных значений \(x\), где экспоненциальная функция стремится к нулю). следовательно, уравнение \(2^x = \sin(x)\) имеет бесконечно много корней.

ответ: бесконечно много корней.

4) \(2^{-x} = 2 — x^2\)

график функции \(y = 2^{-x}\) представляет собой убывающую экспоненциальную кривую, которая стремится к нулю при увеличении \(x\). график функции \(y = 2 — x^2\) является параболой, вершина которой находится в точке \((0; 2)\), а ветви направлены вниз. при анализе графиков видно, что убывающая экспоненциальная кривая пересекает параболу в двух точках. следовательно, уравнение \(2^{-x} = 2 — x^2\) имеет два корня.

ответ: 2 корня.