Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Докажите, что:
1) \( \frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}} \)
2) \( 4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = \left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2} \)
3) \( \frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 2^{4\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = 6^{\sqrt{3}} \)
Доказать равенство:
1) \(\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}}\):
\(5^{2\sqrt{2}} : 5^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}},\)
\(5^{2\sqrt{2}-\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}},\)
\(5^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}}.\)
Равенство доказано.
2) \(4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = \left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2}\):
\(2^{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot 2^{-3\cdot\sqrt{27}} = 16^{\sqrt{3}\cdot(-2)};\)
\(2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3\cdot3\sqrt{3}} = 2^{4\cdot(-2\sqrt{3)}},\)
\(2^{\sqrt{3}-9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}};\)
\(2^{-8\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}.\)
Равенство доказано.
3) \(\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 24^{\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = 6^{\sqrt{3}}\):
\((2 \cdot 6)^{\sqrt{48}} \cdot 24^{\sqrt{12}} : 2^{2\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}} = 6^{\sqrt{3}};\)
\(24^{\sqrt{3}} \cdot 64^{\sqrt{3}} \cdot 24\cdot2^{\sqrt{3}} : 2^{2\cdot\sqrt{3}} \cdot 6^{3\sqrt{3}}\)
\(= 6^{\sqrt{3}};\)
\(24^{\sqrt{3}} + 8^{\sqrt{3}} — 12^{\sqrt{3}} \cdot 64^{\sqrt{3}-3\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}};\)
\(6^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}.\)
Равенство доказано.
доказательство:
1) \(\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{2}}\):
применим свойство степеней: \(a^{m} / a^{n} = a^{m-n}\).
получаем:
\(\frac{5^{\sqrt{8}}}{5^{\sqrt{2}}} = 5^{\sqrt{8} — \sqrt{2}}\).
заметим, что \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), поэтому:
\(5^{\sqrt{8} — \sqrt{2}} = 5^{2\sqrt{2} — \sqrt{2}}\).
упростим показатель степени:
\(2\sqrt{2} — \sqrt{2} = \sqrt{2}\), поэтому:
\(5^{2\sqrt{2} — \sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}}\).
равенство доказано.
2) \(4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = \left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2}\):
распишем каждую степень через основание \(2\):
\(4^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = (2^{2})^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = 2^{\sqrt{3}}\),
\(\left(\frac{1}{8}\right)^{\sqrt{27}} = (2^{-3})^{\sqrt{27}} = 2^{-3 \cdot \sqrt{27}}\).
объединим:
\(2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3 \cdot \sqrt{27}}\).
упростим выражение:
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), поэтому:
\(2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-3 \cdot 3\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3} — 9\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}\).
распишем правую часть равенства:
\(16^{\sqrt{3}} = (2^{4})^{\sqrt{3}} = 2^{4\sqrt{3}}\),
\(\left(16^{\sqrt{3}}\right)^{-2} = (2^{4\sqrt{3}})^{-2} = 2^{4\sqrt{3} \cdot (-2)} = 2^{-8\sqrt{3}}\).
получаем:
\(2^{-8\sqrt{3}} = 2^{-8\sqrt{3}}\).
равенство доказано.
3) \(\frac{12^{\sqrt{48}} \cdot 24^{\sqrt{12}}}{4^{\sqrt{108}} \cdot 6^{\sqrt{27}}} = 6^{\sqrt{3}}\):
распишем каждую степень через простые множители:
\(12 = 2 \cdot 6\),
\(24 = 2^{3} \cdot 3\),
\(4 = 2^{2}\),
\(6 = 2 \cdot 3\).
распишем степени:
\(12^{\sqrt{48}} = (2 \cdot 6)^{\sqrt{48}} = 2^{\sqrt{48}} \cdot 6^{\sqrt{48}}\),
\(24^{\sqrt{12}} = (2^{3} \cdot 3)^{\sqrt{12}} = 2^{3\sqrt{12}} \cdot 3^{\sqrt{12}}\),
\(4^{\sqrt{108}} = (2^{2})^{\sqrt{108}} = 2^{2\sqrt{108}}\),
\(6^{\sqrt{27}} = (2 \cdot 3)^{\sqrt{27}} = 2^{\sqrt{27}} \cdot 3^{\sqrt{27}}\).
объединим:
\(\frac{2^{\sqrt{48}} \cdot 6^{\sqrt{48}} \cdot 2^{3\sqrt{12}} \cdot 3^{\sqrt{12}}}{2^{2\sqrt{108}} \cdot 2^{\sqrt{27}} \cdot 3^{\sqrt{27}}}\).
упростим показатели степеней:
\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}, \sqrt{12} = 2\sqrt{3}, \sqrt{108} = 6\sqrt{3}, \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\), поэтому:
\(\frac{2^{4\sqrt{3}} \cdot 6^{4\sqrt{3}} \cdot 2^{6\sqrt{3}} \cdot 3^{2\sqrt{3}}}{2^{12\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}}\).
объединим степени с одинаковыми основаниями:
\(2^{4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} — 12\sqrt{3} — 3\sqrt{3}} \cdot 3^{4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} — 3\sqrt{3}}\).
упростим показатели:
\(2^{-5\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}}\).
заметим, что \(6 = 2 \cdot 3\), поэтому:
\(2^{-5\sqrt{3}} \cdot 3^{3\sqrt{3}} = (2 \cdot 3)^{\sqrt{3}} = 6^{\sqrt{3}}\).
равенство доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.