ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:}
\)
1) \( y = \left( \frac{1}{4} \right)^{\sin(x)} \);
2) \( y = 3^{|\sin(x)|} — 2. \)

Найти наибольшее и наименьшее значения для данной функции:

1) \( y = \left( \frac{1}{4} \right)^{\sin x} \);
\(-1 \leq \sin x \leq 1\);
\(\frac{1}{4}^{-1} = 4\);
\(\frac{1}{4}^{1} = \frac{1}{4}\);
Ответ: \(\frac{1}{4}; 4\).

2) \( y = 3^{|\sin x|} — 2\);
\(-1 \leq \sin x \leq 1\);
\(0 \leq |\sin x| \leq 1\);
\(1 \leq 3^{|\sin x|} \leq 3\);
\(-1 \leq 3^{|\sin x|} — 2 \leq 1\);
Ответ: \(-1; 1\).

Найти наибольшее и наименьшее значения для данной функции:

1) \( y = \left( \frac{1}{4} \right)^{\sin(x)} \)

Дано: \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \).

Рассмотрим границы изменения функции:
— При \( \sin(x) = -1 \):
\(
y = \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} = 4
\)
— При \( \sin(x) = 1 \):
\(
y = \left( \frac{1}{4} \right)^{1} = \frac{1}{4}
\)

Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 4 \), а наименьшее значение равно \( \frac{1}{4} \).
Ответ: \( \frac{1}{4}; 4 \).

2) \( y = 3^{|\sin(x)|} — 2 \)

Дано: \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \), следовательно, \( 0 \leq |\sin(x)| \leq 1 \).

Рассмотрим границы изменения функции:
— При \( |\sin(x)| = 0 \):
\(
y = 3^{0} — 2 = 1 — 2 = -1
\)
— При \( |\sin(x)| = 1 \):
\(
y = 3^{1} — 2 = 3 — 2 = 1
\)

Таким образом, наибольшее значение функции равно \( 1 \), а наименьшее значение равно \( -1 \).
Ответ: \( -1; 1 \).