ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:}
\)

1) \( y = 6^{\cos(x)} \)

2) \( y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos(x)|} + 5 \)

1) \(y = 6^{\cos x}\);
\(-1 \leq \cos x \leq 1\);
\(\frac{1}{6} \leq 6^{\cos x} \leq 6\);
Ответ: \(\frac{1}{6}; 6\).

2) \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5\);
\(-1 \leq \cos x \leq 1\);
\(0 \leq |\cos x| \leq 1\);
\(\frac{1}{5} \leq \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} \leq 1\);
\(5 + \frac{1}{5} \leq y \leq 6\);
Ответ: \(5{}\frac{1}{5}; 6\).

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции для двух случаев:

1. Рассмотрим функцию \(y = 6^{\cos x}\).
Учитывая, что \(-1 \leq \cos x \leq 1\), значения \(\cos x\) лежат в пределах от \(-1\) до \(1\).

Подставим крайние значения \(\cos x\) в выражение \(6^{\cos x}\):
— При \(\cos x = 1\), \(y = 6^{1} = 6\).
— При \(\cos x = -1\), \(y = 6^{-1} = \frac{1}{6}\).

Таким образом, функция принимает значения в диапазоне:
\(
\frac{1}{6} \leq y \leq 6.
\)

Ответ:
\(
\frac{1}{6}; 6.
\)

2. Рассмотрим функцию \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|} + 5\).
Учитывая, что \(-1 \leq \cos x \leq 1\), значения \(|\cos x|\) лежат в пределах от \(0\) до \(1\).

Подставим крайние значения \(|\cos x|\) в выражение \(\left(\frac{1}{5}\right)^{|\cos x|}\):
— При \(|\cos x| = 0\), \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{0} + 5 = 1 + 5 = 6\).
— При \(|\cos x| = 1\), \(y = \left(\frac{1}{5}\right)^{1} + 5 = \frac{1}{5} + 5 = 5 + \frac{1}{5}\).

Таким образом, функция принимает значения в диапазоне:
\(
5 + \frac{1}{5} \leq y \leq 6.
\)

Ответ:
\(
5{}\frac{1}{5}; 6.
\)