ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 2^{\tan(x)} > 0 \)

2) \( 2^{\arcsin(x)} > -\frac{\pi}{4} \)

3) \( 2^{\arccos(x)} > \arccos(x) — \pi \)

1) \( 2 \cdot \tan x > 0 \)
\( \tan x \in \mathbb{R}; \)
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n; \)

Ответ:
\( \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \} \).

2) \( 2^{\arcsin x} > -\frac{\pi}{4}; \)
\( \arcsin x \in \mathbb{R}; \)
\( -1 \leq x \leq 1; \)

Ответ:
\( [-1; 1]. \)

3) \( 2^{\arccos x} > \arccos x — \pi; \)
\( 0 \leq \arccos x \leq \pi; \)
\( \arccos x > 0; \)
\( \arccos x \in \mathbb{R}; \)
\( -1 \leq x \leq 1; \)

Ответ:
\( [-1; 1]. \)

1) \( 2 \cdot \tan(x) > 0 \)
\( \tan(x) \in \mathbb{R} \)
\( x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Рассмотрим неравенство:
\( 2 \cdot \tan(x) > 0 \).

Так как \( 2 > 0 \), то знак неравенства определяется функцией \( \tan(x) > 0 \).
Функция тангенса положительна на интервалах:
\( x \in \left( 0 + \pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n \right) \cup \left( \frac{3\pi}{2} + \pi n, 2\pi + \pi n \right) \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Учитывая область определения функции тангенса, исключаем точки \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Ответ:
\( x \in \mathbb{R}, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \).

2) \( 2^{\arcsin(x)} > -\frac{\pi}{4} \)
\( \arcsin(x) \in \mathbb{R} \)
\( -1 \leq x \leq 1 \).

Рассмотрим неравенство:
\( 2^{\arcsin(x)} > -\frac{\pi}{4} \).

Поскольку \( 2^{\arcsin(x)} > 0 \) для всех \( x \), принадлежащих области определения функции \( arcsin(x) \), данное неравенство всегда выполняется.

Область определения функции \( arcsin(x) \):
\( -1 \leq x \leq 1 \).

Ответ:
\( [-1; 1] \).

3) \( 2^{\arccos(x)} > \arccos(x) — \pi \)
\( 0 \leq \arccos(x) \leq \pi \)
\( \arccos(x) > 0 \)
\( \arccos(x) \in \mathbb{R} \)
\( -1 \leq x \leq 1 \).

Рассмотрим неравенство:
\( 2^{\arccos(x)} > \arccos(x) — \pi \).

Функция \( 2^{\arccos(x)} > 0 \) для всех \( x \), принадлежащих области определения функции \( arccos(x) \).
Поскольку \( arccos(x) — \pi < 0 \) для всех \( x \), принадлежащих области определения, данное неравенство выполняется всегда.

Область определения функции \( arccos(x) \):
\( -1 \leq x \leq 1 \).

Ответ:
\( [-1; 1] \).