ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 2^x > \sin(x) — 1 \)

2) \( 2^x > \arcsin(x) — \frac{\pi}{2} \)

3) \( 2^{\cot(x)} > \cos(x) — 1 \)

1) \( 2^x > \sin x — 1; \)
\( -1 \leq \sin x \leq 1; \)
\( \sin x — 1 \leq 0; \)
\( x \in R; \)

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).

2) \( 2^x > \arcsin x — \frac{\pi}{2}; \)
\( -\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}; \)
\( \arcsin x \leq 0; \)
\( \arcsin x \in R; \)
\( -1 \leq x \leq 1; \)

Ответ: \( [-1; 1] \).

3) \( 2^{\cot x} > \cos x — 1; \)
\( -1 \leq \cos x \leq 1; \)
\( \cos x — 1 \leq 0; \)
\( \cot x \in R; \)
\( x \neq n\pi; \)

Ответ: \( {x \in R | x \neq n\pi} \).

Решение неравенств:

1) \( 2^x > \sin(x) — 1 \)
Учитывая, что \( -1 \leq \sin(x) \leq 1 \), выражение \( \sin(x) — 1 \) принимает значения в диапазоне \( [-2; 0] \).
Таким образом, \( \sin(x) — 1 \leq 0 \).

Поскольку \( 2^x > 0 \) для любого \( x \in \mathbb{R} \), неравенство выполняется для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ: \( (-\infty; +\infty) \).

2) \( 2^x > \arcsin(x) — \frac{\pi}{2} \)
Учитывая, что \( -\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(x) \leq \frac{\pi}{2} \), выражение \( \arcsin(x) — \frac{\pi}{2} \) принимает значения в диапазоне \( [-\pi; 0] \).
Таким образом, \( \arcsin(x) — \frac{\pi}{2} \leq 0 \).

Из определения функции \( \arcsin(x) \), область определения ограничена интервалом \( [-1; 1] \). Поэтому решение существует только для \( x \in [-1; 1] \).

Ответ: \( [-1; 1] \).

3) \( 2^{\cot(x)} > \cos(x) — 1 \)
Учитывая, что \( -1 \leq \cos(x) \leq 1 \), выражение \( \cos(x) — 1 \) принимает значения в диапазоне \( [-2; 0] \).
Таким образом, \( \cos(x) — 1 \leq 0 \).

Функция \( 2^{\cot(x)} > 0 \) для всех \( x \in R, x \neq n\pi \), где \( n \in \mathbb{Z} \), так как в точках \( x = n\pi \) значение функции \( \cot(x) \) не определено.

Ответ: \( {x \in R | x \neq n\pi} \).