Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Постройте график функции:
1) \( y = \left| 2^{-|x|} — 1 \right| \);
2) \( y = \frac{2^{|x|} — 1}{|2^x — 1|} \).
1) \( y = |2^{-|x|} — 1| \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( 2^{-|x|} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1 \);
\( 2^{-|x|} — 1 \leq 0 \);
\( y = 1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x \);
Если \( x < 0 \), тогда:
\( 2^{-|x|} = 2^x \leq 1 \);
\( 2^{-|x|} — 1 \leq 0 \);
\( y = 1 — 2^x \);
График функции:
2) \( y = \frac{2^{|x|} — 1}{|2^x — 1|} \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
— \( 2^x \geq 1 \), \( 2^x — 1 \geq 0 \);
— \( y = \frac{2^x — 1}{2^x — 1} = 1 \).
Если \( x < 0 \), тогда:
— \( 2^{|x|} = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \);
— \( 2^x \leq 1 \), \( 2^x — 1 \leq 0 \);
— \( y = \frac{\frac{1}{2^x} — 1}{1 — 2^x} = \frac{1 — 2^x}{2^x(1 — 2^x)} = \frac{1}{2^x} = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x. \)
График функции:
1) \( y = |2^{-|x|} — 1| \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\(
2^{-|x|} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \leq 1
\)
\(
2^{-|x|} — 1 \leq 0
\)
\(
y = 1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x
\)
Если \( x < 0 \), тогда:
\(
2^{-|x|} = 2^x \leq 1
\)
\(
2^{-|x|} — 1 \leq 0
\)
\(
y = 1 — 2^x
\)
Таким образом, график функции состоит из двух частей:
— Для \( x \geq 0 \) функция имеет вид \( y = 1 — \left(\frac{1}{2}\right)^x \), которая убывает и стремится к \( 1 \) при \( x \to 0 \), а при \( x \to \infty \) стремится к \( 0 \).
— Для \( x < 0 \) функция имеет вид \( y = 1 — 2^x \), которая возрастает и стремится к \( 1 \) при \( x \to 0 \), а при \( x \to -\infty \) стремится к \( 0 \).
2) \( y = \frac{2^{|x|} — 1}{|2^x — 1|} \)
Если \( x \geq 0 \), тогда:
\(
2^x \geq 1, \quad 2^x — 1 \geq 0
\)
\(
y = \frac{2^x — 1}{2^x — 1} = 1
\)
Если \( x < 0 \), тогда:
\(
2^{|x|} = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x
\)
\(
2^x \leq 1, \quad 2^x — 1 \leq 0
\)
\(
y = \frac{\frac{1}{2^x} — 1}{1 — 2^x}
\)
Упростим выражение:
\(
y = \frac{1 — 2^x}{2^x(1 — 2^x)} = \frac{1}{2^x} = 2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x
\)
Таким образом, график функции состоит из двух частей:
— Для \( x \geq 0 \) значение функции постоянно равно \( y = 1 \).
— Для \( x < 0 \) функция имеет вид \( y = \left(\frac{1}{2}\right)^x \), которая возрастает и стремится к \( 1 \) при \( x \to 0 \), а при \( x \to -\infty \) стремится к \( \infty \).
График функции можно построить, учитывая постоянное значение \( y = 1 \) для \( x \geq 0 \) и экспоненциальное возрастание для \( x < 0 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.