ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \( y = |1 — 3^{|x|}| \);
2) \( y = \frac{|1 — 3^{-x}|}{3^{|x|} — 1} \).

Построить график функции:

1) \( y = |1 — 3^{|x|}| \);

— Если \( x \geq 0 \), тогда:
— \( 3^{|x|} = 3^x \geq 1 \);
— \( 1 — 3^{|x|} \leq 0 \);
— \( y = 3^x — 1 \);

— Если \( x < 0 \), тогда:
— \( 3^{|x|} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \geq 1 \);
— \( 1 — 3^{|x|} \leq 1 \);
— \( y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 1 \).

График функции:

2) \( y = \frac{|1 — 3^{-x}|}{3^{|x|} — 1} \);

Если \( x \geq 0 \), тогда:
— \( 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \leq 1 \);
— \( 1 — 3^{-x} \geq 0 \);
— \( y = \frac{1 — \frac{1}{3^x}}{3^x — 1} = \frac{3^x — 1}{3^x (3^x — 1)} \);
— \( y = \frac{1}{3^x} = 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \);

Если \( x < 0 \), тогда:
— \( 3^{|x|} = 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \geq 1 \);
— \( 1 — 3^{-x} \leq 0 \);
— \( y = \frac{\frac{1}{3^x} — 1}{\frac{1}{3^x} — 1} = 1 \).

График функции:

Построить график функции:

1) \(y = |1 — 3^{|x|}|\)

Для анализа поведения функции \(y = |1 — 3^{|x|}|\) рассмотрим два случая: \(x \geq 0\) и \(x < 0\).

Если \(x \geq 0\):
1. \(3^{|x|} = 3^x\), так как модуль числа \(x\) равен самому числу при \(x \geq 0\).
2. Поскольку \(3^x \geq 1\) для всех \(x \geq 0\), выражение \(1 — 3^x\) становится отрицательным или нулевым (\(1 — 3^x \leq 0\)).
3. Абсолютное значение выражения \(1 — 3^x\) равно \(-(1 — 3^x)\), то есть \(y = 3^x — 1\).

Итак, для \(x \geq 0\):
\(
y = 3^x — 1
\)

Если \(x < 0\):
1. В этом случае модуль числа \(x\) равен \(-x\), то есть \(|x| = -x\). Тогда \(3^{|x|} = 3^{-x}\).
2. Поскольку \(3^{-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^x \geq 1\) для всех \(x < 0\), выражение \(1 — 3^{-x}\) становится отрицательным или нулевым (\(1 — 3^{-x} \leq 0\)).
3. Абсолютное значение выражения \(1 — 3^{-x}\) равно \(-(1 — 3^{-x})\), то есть \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 1\).

Итак, для \(x < 0\):
\(
y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 1
\)

Таким образом, функция \(y = |1 — 3^{|x|}|\) состоит из двух частей:
— Для \(x \geq 0\): \(y = 3^x — 1\);
— Для \(x < 0\): \(y = \left(\frac{1}{3}\right)^x — 1\).

График функции:

2) \( y = \frac{|1 — 3^{-x}|}{3^{|x|} — 1} \);

Если \( x \geq 0 \), тогда:
— \( 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \leq 1 \);
— \( 1 — 3^{-x} \geq 0 \);
— \( y = \frac{1 — \frac{1}{3^x}}{3^x — 1} = \frac{3^x — 1}{3^x (3^x — 1)} \);
— \( y = \frac{1}{3^x} = 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \);

Если \( x < 0 \), тогда:
— \( 3^{|x|} = 3^{-x} = \left( \frac{1}{3} \right)^x \geq 1 \);
— \( 1 — 3^{-x} \leq 0 \);
— \( y = \frac{\frac{1}{3^x} — 1}{\frac{1}{3^x} — 1} = 1 \).

График функции:

График функции \( y = \frac{|1 — 3^{-x}|}{3^{|x|} — 1} \) имеет следующие особенности:

1. Для \( x \geq 0 \):
— Функция убывает от значения \( y = 1 \), стремясь к нулю при увеличении \( x \).
— График асимптотически приближается к оси \( x \), но никогда её не пересекает.

2. Для \( x < 0 \):
— Функция принимает значение \( y = 1 \), что соответствует свойству, описанному выше.
— График симметричен относительно точки \( x = 0 \).

График состоит из двух частей:
— Убывающая часть для положительных значений \( x \).
— Постоянное значение для отрицательных значений \( x \).