ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Сравните } (7 + 4\sqrt{3})^{-5.2} \text{ и } (7 — 4\sqrt{3})^{5.6}.
\)

Сравнить числа:
\((7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}\) и \((7 — 4\sqrt{3})^{5,6}\);

1) Преобразуем число:
\((7 — 4\sqrt{3})^{5,6} = \left(\frac{1}{7 — 4\sqrt{3}}\right)^{5,6} =\)

\(
\left(\frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 — 16 \cdot 3}\right)^{-5,6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6};
\)

2) Выполняются неравенства:
\(7 + 4\sqrt{3} > 1,\) \(-5,2 > -5,6;\)
\((7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6};\)

Ответ:
\((7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 — 4\sqrt{3})^{5,6}\)

сравнить числа
\((7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}\) и \((7 — 4\sqrt{3})^{5,6}\).

1) преобразуем число \((7 — 4\sqrt{3})^{5,6}\):
\((7 — 4\sqrt{3})^{5,6} = \left(\frac{1}{7 — 4\sqrt{3}}\right)^{5,6}\).

заметим, что знаменатель можно упростить:
\(
7 — 4\sqrt{3} = \frac{1}{7 — 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 — 16 \cdot 3}.
\)
тогда:
\(
\left(\frac{1}{7 — 4\sqrt{3}}\right)^{5,6} = \left(\frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 — 16 \cdot 3}\right)^{5,6}.
\)
учитывая, что выражение \((49 — 16 \cdot 3)\) равно \(1\), получаем:
\(
(7 — 4\sqrt{3})^{5,6} = (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}.
\)

2) теперь сравним числа \((7 + 4\sqrt{3})^{-5,2}\) и \((7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}\).

так как \(7 + 4\sqrt{3} > 1\), то отрицательная степень числа уменьшается с увеличением значения степени (чем меньше степень, тем больше значение числа).

учитывая, что \(-5,2 > -5,6\), выполняется неравенство:
\(
(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 + 4\sqrt{3})^{-5,6}.
\)

следовательно, окончательный вывод:
\(
(7 + 4\sqrt{3})^{-5,2} > (7 — 4\sqrt{3})^{5,6}.
\)