Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
Найдите область значений функции \( f(x) = 2^{(\sin(x) + \cos(x))^2} \).
Найти область значений функции: \( f(x) = 2^{(\sin(x) + \cos(x))^2} \);
1) Преобразуем показатель: \( y = (\sin(x) + \cos(x))^2 \); \( y = \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) \); \( y = 1 + \sin(2x) \);
2) Множество значений: \( -1 \leq \sin(2x) \leq 1 \); \( 0 \leq 1 + \sin(2x) \leq 2 \);
\( 0 \leq (\sin(x) + \cos(x))^2 \leq 2 \); \( 1 \leq 2^{(\sin(x) + \cos(x))^2} \leq 4 \);
Ответ: \( E(f) = [1; 4] \).
Найдем область значений функции \( f(x) = 2^{(\sin(x) + \cos(x))^2} \).
1) Преобразуем показатель степени. Рассмотрим выражение \( (\sin(x) + \cos(x))^2 \). Раскроем квадрат суммы:
\(
(\sin(x) + \cos(x))^2 = \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x).
\)
Так как для любого значения \( x \) выполняется тождество \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), то выражение упрощается до:
\(
(\sin(x) + \cos(x))^2 = 1 + 2\sin(x)\cos(x).
\)
Используем формулу двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \). Тогда:
\(
(\sin(x) + \cos(x))^2 = 1 + \sin(2x).
\)
2) Найдем множество значений выражения \( 1 + \sin(2x) \). Так как для любого \( x \) выполняется неравенство \( -1 \leq \sin(2x) \leq 1 \), то добавляя единицу ко всем частям этого неравенства, получаем:
\(
0 \leq 1 + \sin(2x) \leq 2.
\)
Следовательно:
\(
0 \leq (\sin(x) + \cos(x))^2 \leq 2.
\)
3) Теперь рассмотрим функцию \( f(x) = 2^{(\sin(x) + \cos(x))^2} \). Так как показатель степени \( (\sin(x) + \cos(x))^2 \) принимает значения на отрезке \( [0; 2] \), то функция экспоненциального роста \( 2^y \), где \( y = (\sin(x) + \cos(x))^2 \), будет принимать значения на отрезке:
\(
f(x) = 2^0 = 1, \quad f(x) = 2^2 = 4.
\)
Таким образом, множество значений функции \( f(x) = 2^{(\sin(x) + \cos(x))^2} \) равно:
\(
E(f) = [1; 4].
\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.