ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Область значений функции \( f(x) = 3^{\sin(x) \cos(x)} \).

Найти область значений функции: \( f(x) = 3^{\sin x \cos x} \);
1) Преобразуем показатель:
\( y = \sin x \cos x = \frac{-\sin 2x}{2} \);
2) Множество значений:
\( -1 \leq \sin 2x \leq 1 \);
\( -\frac{1}{2} \leq \sin x \cos x \leq \frac{1}{2} \);
\( 3^{-\frac{1}{2}} \leq 3^{\sin x \cos x} \leq 3^{\frac{1}{2}} \);

Ответ: \( E(f) = \left[ 3^{-\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{2}} \right] \).

Найдем область значений функции \( f(x) = 3^{\sin(x)\cos(x)} \).

1) Преобразуем показатель.

Заметим, что \( \sin(x)\cos(x) \) можно выразить через удвоенный аргумент с помощью формулы:
\(
\sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2}.
\)
Таким образом, показатель степени функции \( f(x) \) принимает вид:
\(
y = \sin(x)\cos(x) = \frac{\sin(2x)}{2}.
\)

2) Найдем множество значений \( y \).

Так как \( \sin(2x) \) — это функция синуса, она принимает значения в интервале:
\(
-1 \leq \sin(2x) \leq 1.
\)
Разделим это неравенство на 2, чтобы найти значения \( y \):
\(
-\frac{1}{2} \leq \frac{\sin(2x)}{2} \leq \frac{1}{2}.
\)
Следовательно, множество значений \( y = \sin(x)\cos(x) \) находится в пределах:
\(
-\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{1}{2}.
\)

3) Найдем множество значений функции \( f(x) = 3^{y} \).

Так как основание степени \( 3 > 1 \), функция \( 3^{y} \) является возрастающей. Поэтому значения \( f(x) \) будут соответствовать значениям \( y = \sin(x)\cos(x) \), преобразованным степенной функцией. Подставим границы для \( y \):
\(
f_{\text{min}} = 3^{-\frac{1}{2}}, \quad f_{\text{max}} = 3^{\frac{1}{2}}.
\)
Таким образом, множество значений функции \( f(x) \) равно:
\(
E(f) = \left[ 3^{-\frac{1}{2}}, 3^{\frac{1}{2}} \right].
\)