ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 2^{\cos(x)} = x^2 + 2; \\
2) & \quad 2^{\sqrt{x}} = \cos(x).
\end{align*}
\)

Решить уравнение:
1)
\(
2^{\cos x} = x^2 + 2; \quad \cos x \leq 1, \quad 2^{\cos x} \leq 2; \quad x^2 \geq 0, \quad x^2 + 2 \geq 2;
\)
\(
x^2 + 2 = 2, \quad x^2 = 0, \quad x = 0, \quad 2^{\cos 0} = 2; \quad \text{Ответ: } 0.
\)

2)
\(
2^{\sqrt{x}} = \cos x; \quad \sqrt{x} \geq 0, \quad 2^{\sqrt{x}} \geq 1;
\)
\(
\cos x \leq 1; \quad 2^{\sqrt{x}} = 1, \quad \sqrt{x} = 0; \quad x = 0, \quad \cos 0 = 1; \quad \text{Ответ: } 0.
\)

решение уравнений:

1)
\(
2^{\cos(x)} = x^2 + 2
\)
ограничения:
\(
\cos(x) \leq 1, \quad 2^{\cos(x)} \leq 2; \quad x^2 \geq 0, \quad x^2 + 2 \geq 2
\)

из условия \(x^2 + 2 \geq 2\), следует:
\(
x^2 \geq 0
\)

пусть \(x^2 + 2 = 2\):
\(
x^2 = 0
\)
\(
x = 0
\)

проверяем:
\(
2^{\cos(0)} = 2^{1} = 2, \quad x^2 + 2 = 0^2 + 2 = 2
\)
условие выполняется.

ответ:
\(
x = 0
\)

2)
\(
2^{\sqrt{x}} = \cos(x)
\)
ограничения:
\(
\sqrt{x} \geq 0, \quad 2^{\sqrt{x}} \geq 1, \quad \cos(x) \leq 1
\)

пусть \(2^{\sqrt{x}} = 1\):
\(
\sqrt{x} = 0
\)
\(
x = 0
\)

проверяем:
\(
2^{\sqrt{0}} = 1, \quad \cos(0) = 1
\)
условие выполняется.

ответ:
\(
x = 0
\)