ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите неравенство:

1) \( 2^{x^2} > \sin(x) \)

2) \( 2^{-x^2} > |\sin(x)| + 1 \)

3) \( 2^{vx} > 1 — x^2 \)

1) \(2^{x^2} \geq \sin x\); \(x^2 \geq 0\), \(2^{x^2} \geq 1\); \(\sin x \leq 1\);
Ответ: \((- \infty; +\infty)\).

2) \(2^{-x^2} \geq |\sin x| + 1\); \(2^{-x^2} \leq 1\); \(|\sin x| \geq 0\), \(|\sin x| + 1 \geq 1\);
\(2^{-x^2} = 1\), \(-x^2 = 0\);
\(x = 0\), \(|\sin 0| + 1 = 1\);
Ответ: \(\{0\}\).

3) \(2^{\sqrt{x}} \geq 1 — x^2\);
\(\sqrt{x} \geq 0\), \(2^{\sqrt{x}} \geq 1\);
\(-x^2 \leq 0\), \(1 — x^2 \leq 1\);
Область определения: \(\sqrt{x} \in \mathbb{R}, x \geq 0\);
Ответ: \([0; +\infty)\).

1. Рассмотрим неравенство \(2^{x^2} \geq \sin(x)\).

Учитывая, что \(x^2 \geq 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), основание степени \(2^{x^2}\) положительное и возрастает при увеличении \(x^2\).
Функция \(\sin(x)\) ограничена: \(-1 \leq \sin(x) \leq 1\).

Так как \(2^{x^2} \geq 1\) для всех \(x^2 \geq 0\), а \(\sin(x) \leq 1\), то неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

Ответ: \((- \infty; +\infty)\).

2. Рассмотрим неравенство \(2^{-x^2} \geq |\sin(x)| + 1\).

Функция \(2^{-x^2}\) принимает значения в интервале \((0; 1]\), так как \(x^2 \geq 0\).
Функция \(|\sin(x)| + 1\) принимает значения в интервале \([1; 2]\), так как \(|\sin(x)| \geq 0\).

Для выполнения неравенства необходимо:
\(
2^{-x^2} = 1, \quad -x^2 = 0, \quad x = 0.
\)

Проверим: при \(x = 0\), имеем \(2^{-0^2} = 1\) и \(|\sin(0)| + 1 = 1\). Неравенство выполняется.

Ответ: \(\{0\}\).

3. Рассмотрим неравенство \(2^{\sqrt{x}} \geq 1 — x^2\).

Область определения:
\(
\sqrt{x} \geq 0, \quad x \geq 0.
\)

Функция \(2^{\sqrt{x}}\) возрастает при увеличении \(x\), а функция \(1 — x^2\) убывает при увеличении \(x > 0\).

Проверим границы:
— При \(x = 0\): \(2^{\sqrt{0}} = 1, \quad 1 — 0^2 = 1.\) Неравенство выполняется.
— При \(x > 0\): \(2^{\sqrt{x}} > 1, \quad 1 — x^2 < 1.\) Неравенство выполняется.

Таким образом, решение:
\(
[0; +\infty).
\)