ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.46 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию

\(
y = \frac{2^x — 1}{2^x + 1}.
\)

1. Исследовать на чётность функцию:
\(
y = \frac{2^x — 1}{2^x + 1}
\)

2. Область определения:
\(
2^x + 1 \neq 0, \quad 2^x > 0, \quad D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

3. Проверка на чётность:
\(
y(-x) = \frac{2^{-x} — 1}{2^{-x} + 1} = \frac{1 — 2^x}{1 + 2^x} = -y(x)
\)

Ответ: функция нечётная.

1. Исследовать на чётность функцию:
\(
y = \frac{2^x — 1}{2^x + 1}
\)

2. Область определения:
Функция определена при всех значениях \(x\), так как знаменатель \(2^x + 1\) не равен нулю.
Учитывая, что \(2^x > 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), то \(2^x + 1 > 0\).
Следовательно, область определения функции:
\(
D(x) = (-\infty; +\infty)
\)

3. Проверка на чётность:
Для проверки на чётность необходимо вычислить \(y(-x)\) и сравнить с \(y(x)\).

Подставим \(-x\) в функцию:
\(
y(-x) = \frac{2^{-x} — 1}{2^{-x} + 1}
\)

Используем свойство степени: \(2^{-x} = \frac{1}{2^x}\). Тогда:
\(
y(-x) = \frac{\frac{1}{2^x} — 1}{\frac{1}{2^x} + 1}
\)

Умножим числитель и знаменатель на \(2^x\), чтобы избавиться от дробей:
\(
y(-x) = \frac{1 — 2^x}{1 + 2^x}
\)

Заметим, что:
\(
y(-x) = -\frac{2^x — 1}{2^x + 1} = -y(x)
\)

Таким образом, \(y(-x) = -y(x)\), что соответствует определению нечётной функции.

Ответ: функция нечётная.