ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию

\(
y = (2 + \sqrt{3})^x + (2 — \sqrt{3})^x.
\)

Исследовать на четность функцию:
\(y = (2 + \sqrt{3})^x + (2 — \sqrt{3})^x;\)

1) Область определения:
\(D(x) = (-\infty; +\infty);\)

2) Проверка на четность:
\(
y(-x) = (2 + \sqrt{3})^{-x} + (2 — \sqrt{3})^{-x} = \frac{1}{(2 + \sqrt{3})^x} + \frac{1}{(2 — \sqrt{3})^x} =
\)
\(
= (2 — \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x = y(x);
\)

Ответ: четная.

Исследовать на четность функцию:
\(y = (2 + \sqrt{3})^x + (2 — \sqrt{3})^x\)

1) Область определения:
Функция определена для всех значений \(x\), так как выражения \((2 + \sqrt{3})^x\) и \((2 — \sqrt{3})^x\) существуют при любых \(x \in \mathbb{R}\).
Таким образом, область определения:
\(D(x) = (-\infty; +\infty)\).

2) Проверка на четность:
Для проверки четности функции нужно исследовать, выполняется ли равенство \(y(-x) = y(x)\).

Вычислим \(y(-x)\):
\(
y(-x) = (2 + \sqrt{3})^{-x} + (2 — \sqrt{3})^{-x}.
\)

Используем свойство степени с отрицательным показателем:
\(
a^{-x} = \frac{1}{a^x}.
\)

Применяя это свойство, получаем:
\(
y(-x) = \frac{1}{(2 + \sqrt{3})^x} + \frac{1}{(2 — \sqrt{3})^x}.
\)

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен \((2 + \sqrt{3})^x \cdot (2 — \sqrt{3})^x\). Тогда:
\(
y(-x) = \frac{(2 — \sqrt{3})^x}{(2 + \sqrt{3})^x \cdot (2 — \sqrt{3})^x} + \frac{(2 + \sqrt{3})^x}{(2 + \sqrt{3})^x \cdot (2 — \sqrt{3})^x}.
\)

Складываем дроби:
\(
y(-x) = \frac{(2 — \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x}{(2 + \sqrt{3})^x \cdot (2 — \sqrt{3})^x}.
\)

Заметим, что числитель совпадает с исходным выражением \(y(x)\), а знаменатель равен единице, так как:
\(
(2 + \sqrt{3}) \cdot (2 — \sqrt{3}) = 4 — 3 = 1.
\)

Таким образом:
\(
y(-x) = (2 — \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x = y(x).
\)

Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.