ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.49 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Исследуйте на чётность функцию

\(
y = ( \sqrt{2} + 1 )^x — ( \sqrt{2} — 1 )^x.
\)

Исследовать на четность функцию:
\(y = (\sqrt{2} + 1)^x — (\sqrt{2} — 1)^x\);

1) Область определения:
\(D(x) = (-\infty; +\infty)\);

2) Проверка на четность:
\(
y(-x) = (\sqrt{2} + 1)^{-x} — (\sqrt{2} — 1)^{-x}
\)
\(
= \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^x} — \frac{1}{(\sqrt{2} — 1)^x}
\)
\(
= \left(\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1}\right)^x — \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}\right)^x
\)
\(
= -\left((\sqrt{2} + 1)^x — (\sqrt{2} — 1)^x\right)
\)
\(
= -y(x);
\)

Ответ: нечетная.

Функция
Задана функция:
\(y = (\sqrt{2} + 1)^x — (\sqrt{2} — 1)^x\).

1. Область определения
Для определения области, необходимо проверить, при каких значениях \(x\) выражения \((\sqrt{2} + 1)^x\) и \((\sqrt{2} — 1)^x\) существуют.

— Числа \((\sqrt{2} + 1)\) и \((\sqrt{2} — 1)\) являются положительными (так как \(\sqrt{2} \approx 1.414\)).
— Возведение положительного числа в любую степень (целую, дробную или отрицательную) всегда определено.

Таким образом, функция определена для всех значений \(x \in (-\infty; +\infty)\).

2. Проверка на четность
Функция будет четной, если выполняется равенство:
\(y(-x) = y(x)\),
и нечетной, если выполняется равенство:
\(y(-x) = -y(x)\).

Для проверки подставим \(-x\) вместо \(x\) в функцию:
\(y(-x) = (\sqrt{2} + 1)^{-x} — (\sqrt{2} — 1)^{-x}\).

2.1. Используем свойство степени
Для упрощения выражения воспользуемся свойством степени:
\(a^{-x} = \frac{1}{a^x}\).

Применим это свойство к каждому слагаемому:
\(y(-x) = \frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^x} — \frac{1}{(\sqrt{2} — 1)^x}\).

2.2. Приведение к дробям
Объединим выражения в виде дробей. Заметим, что дробь \(\frac{1}{(\sqrt{2} + 1)^x}\) можно записать как \(((\sqrt{2} — 1)/(\sqrt{2} + 1))^x\), а \(\frac{1}{(\sqrt{2} — 1)^x}\) — как \(((\sqrt{2} + 1)/(\sqrt{2} — 1))^x\). Тогда:
\(y(-x) = \left(\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1}\right)^x — \left(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}\right)^x\).

2.3. Свойства взаимно обратных чисел
Числа \(\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1}\) и \(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1}\) являются взаимно обратными. Это легко проверить:
\(\frac{\sqrt{2} — 1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} — 1} = 1\).

При возведении взаимно обратных чисел в степень \(x\) их разность меняет знак. Следовательно:
\(y(-x) = -\left((\sqrt{2} + 1)^x — (\sqrt{2} — 1)^x\right)\).

3. Сравнение \(y(-x)\) и \(y(x)\)
Мы получили:
\(y(-x) = -y(x)\).

Это означает, что функция является нечетной.

4. Вывод
Функция \(y = (\sqrt{2} + 1)^x — (\sqrt{2} — 1)^x\) обладает следующими свойствами:
1. Область определения: \(x \in (-\infty; +\infty)\).
2. Функция является нечетной, так как \(y(-x) = -y(x)\).