ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции

\(
y = \frac{2^x — 1}{2^x — 4}.
\)

Найти область значений функции:
\(
y = \frac{2x — 1}{2x — 4}
\)

1) Рассмотрим уравнение:
\(
t — 1 = a, \quad t > 0; \quad t — 4
\)

\(
t — 1 = a(t — 4);
\)

\(
t — 1 = at — 4a;
\)

\(
t — at = 1 — 4a;
\)

\(
t(1 — a) = 1 — 4a;
\)

\(
t = \frac{1 — 4a}{1 — a}.
\)

2) Уравнение имеет корни:
\(
\frac{1 — 4a}{1 — a} > 0;
\)

\(
4a — 1 > 0; \quad a — 1 > 0;
\)

\(
a > \frac{1}{4}; \quad a > 1.
\)

Ответ:
\(
E(y) = (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (1; +\infty).
\)

найти область значений функции:

\( y = \frac{2x — 1}{2x — 4} \)

рассмотрим функцию \( y = \frac{2x — 1}{2x — 4} \). чтобы найти область значений, выразим \( x \) через \( y \). перепишем уравнение:

\(
y = \frac{2x — 1}{2x — 4}
\)

умножим обе части на знаменатель \( 2x — 4 \), предполагая, что \( 2x — 4 \neq 0 \):

\(
y(2x — 4) = 2x — 1
\)

раскроем скобки:

\(
2xy — 4y = 2x — 1
\)

перенесем все выражения с \( x \) в одну часть уравнения:

\(
2xy — 2x = 4y — 1
\)

вынесем \( x \) за скобки:

\(
x(2y — 2) = 4y — 1
\)

выразим \( x \):

\(
x = \frac{4y — 1}{2y — 2}
\)

теперь необходимо определить область значений \( y \). для этого рассмотрим ограничения, связанные с выражением \( \frac{4y — 1}{2y — 2} \).

во-первых, знаменатель \( 2y — 2 \) не должен быть равен нулю:

\(
2y — 2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad y \neq 1
\)

во-вторых, дробь \( \frac{4y — 1}{2y — 2} \) должна быть определена. чтобы понять, какие значения \( y \) возможны, исследуем знак выражения:

\(
\frac{4y — 1}{2y — 2} > 0
\)

проанализируем числитель и знаменатель:

1. числитель \( 4y — 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad y > \frac{1}{4} \)
2. знаменатель \( 2y — 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad y > 1 \)

или

1. числитель \( 4y — 1 < 0 \quad \Rightarrow \quad y < \frac{1}{4} \)
2. знаменатель \( 2y — 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad y < 1 \)

объединим результаты. область значений функции:

\(
E(y) = (-\infty; \frac{1}{4}) \cup (1; +\infty)
\)