ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 1.51 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите область значений функции \( y = \frac{3^x}{3^x — 9} \).

Найти область значений функции:
\( y = \frac{3x}{3x — 9} \)

1) Рассмотрим уравнение:
\( \frac{t}{t — 9} = a, \quad t > 0; \)
\( t = a(t — 9); \quad t = at — 9a; \)
\( t — at = — 9a; \quad t(1 — a) = — 9a; \quad t = \frac{9a}{a — 1}; \)

2) Уравнение имеет корни:
\( \frac{9a}{a — 1} > 0; \quad a < 0, \quad a > 1. \)

Ответ:
\( E(y) = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty). \)

Для нахождения области значений функции \( y = \frac{3x}{3x — 9} \) рассмотрим уравнение:

\(
\frac{t}{t — 9} = a, \quad t > 0
\)

где \( t = 3x \). Перепишем уравнение:

\(
t = a(t — 9)
\)

Раскроем скобки:

\(
t = at — 9a
\)

Переносим все члены на одну сторону:

\(
t — at = -9a
\)

Выносим \( t \) за скобки:

\(
t(1 — a) = -9a
\)

Теперь выразим \( t \):

\(
t = \frac{9a}{a — 1}
\)

1. Рассмотрим случай, когда \( a < 0 \):
— В этом случае \( -9a > 0 \) и \( 1 — a > 0 \), что подразумевает \( a < 1 \).
— Таким образом, для \( a < 0 \) данное условие выполняется.

2. Рассмотрим случай, когда \( a > 1 \):
— В этом случае \( -9a < 0 \) и \( 1 — a < 0 \), что также выполняет условие.
— Таким образом, для \( a > 1 \) данное условие также выполняется.

Следовательно, уравнение имеет корни при:

\(
\frac{9a}{a — 1} > 0 \quad \Rightarrow \quad a < 0 \quad \text{или} \quad a > 1
\)

Таким образом, область значений функции \( y \) будет:

\(
E(y) = (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)
\)